Définition d'un Mot ou d'un Terme du cours

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Factoriser, Factorisation

Factoriser, mettre en facteur... Voilà des expressions un peu inquiétantes ! Pourtant la factorisation est une base du calcul algébrique. Il est donc indispensable de comprendre comment utiliser cette technique.

Pour vous aider à maîtriser les principes de la factorisation, nous allons prendre un exemple simple, qui pourrait sembler éloigné du monde des mathématiques, et pourtant ! Nous sommes au coeur de notre façon de penser !

Qu'est-ce que ça veut dire factoriser ?

Comme très souvent, pour comprendre des mots ou des expressions inconnus, il faut essayer de les regarder avec simplicité.

à retenir

Factoriser une expression, c’est « mettre en facteur » un terme commun contenu dans cette expression.

L’opération contraire (ou opération inverse), s’appelle développer une expression.

Un facteur ici ne porte pas le courrier ! Un facteur est un morceau de l’expression qui forme un tout, qu’on pourrait isoler par des parenthèses.

Nous savons tous factoriser !

Tout ça à l’air bien compliqué, et pourtant ! Comme nous le répétons souvent, nous nous servons des maths tout le temps dans notre vie. Et la factorisation est une opération que tout le monde connaît !

Voici le petit exemple concret promis pour éclairer tout ça.

Je prépare mon anniversaire, je dois envoyer un sms à mes copines Laura et Julie pour les inviter.
Comment faire ?

J’ai deux solutions :

Je tape mon sms et je l’envoie à Laura puis je retape le même sms et je l’envoie à Julie. Pourquoi pas ? Mais c’est un peu fatiguant.
Ou alors, je tape mon sms puis je l’envoie à Laura et Julie en même temps !

Le résultat final est le même mais dans le deuxième cas, en réfléchissant un peu, je m’économise des efforts. Et les maths, ça sert aussi à ça.

Voici un résumé de ce que nous avons trouvé :

sms pour Laura + sms pour Julie = sms pour ( Laura + Julie )

Ce que nous avons fait, sans y penser, c’est factoriser le facteur commun « sms » !

Une définition de factoriser

L'exemple que nous venons d'étudier, qui paraît évident dans notre vie courante, correspond exactement aux opérations que l'on doit effectuer pour factoriser une expression algébrique !

Nous pouvons donc maintenant établir une définition plus précise de ce que signifie factoriser, factorisation, mettre en facteur, facteur commun...

à retenir

Factoriser, c’est trouver ce qui est commun dans une expression, et le mettre à part pour ne l’effectuer qu’une seule fois.

Exemple de factorisation d'une expression mathématique

A présent (on est là pour ça), prenons un exemple mathématique

On a une expression sous sa forme développée : 2 × 5 − 2 × 3
Le facteur « 2 » apparaît dans chaque multiplication, c’est un « facteur commun ».
On obtient l’expression sous sa forme factorisée : 2 × ( 5 − 3 )
Les deux formes donnent le même résultat (vérifiez-le avec un petit coup de machine à calculer).

Factoriser permet de rendre l'expression plus claire, plus simple, et d'avoir moins d'opérations à effectuer (une seule multiplication).

Pour factoriser correctement, il faut respecter des règles

Pour factoriser une expression algébrique il existe bien sûr des règles précises à respecter impérativement. La règle peut-être la plus importante n'est pourtant pas que mathématique : c'est l'attention soigneuse et la concentration sur ce qu'on est en train de faire !

Pour aller plus loin, Factoriser, c’est donc mettre sous forme d’un produit de facteurs. Et si on parle de produit, c’est que dans le résultat on aura des multiplications.
De plus, factoriser, c’est une opération qui nécessite de se souvenir de l’ordre de priorité des opérations : c’est à dire que quand on calcule une expression, on commence par effectuer, pour chaque facteur, les divisions et les multiplications, et on fini par les soustractions et les additions.
C’est pour ça, que dans cette page nous ne faisons que rappeler comment faire à ceux qui l’ont déjà fait…
Et il faudrait parler de distributivité : a × (b + c ) = (a × b) + (a × c)

Dans notre exemple, on peut effectivement vérifier qu’en distribuant «2» dans chaque terme de la parenthèse, on retombe sur la forme développée du début :

2 × ( 5 − 3 ) = (2 × 5) − (2 × 3)

On a donc : forme factorisée = forme développée où chaque multiplication a le facteur commun «2».

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