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capte-les-maths.com → Lexique Mathématique › Racine Carrée d'un Nombre

Racine Carrée d'un Nombre


Les racines carrées sont des nombres mathématiques à la fois très connus et mystérieux. Leur symbole lui-même semble le signe d'une expression difficile. Pourtant en soi, rien de vraiment compliqué : il s'agit de la relation entre un nombre initial et celui obtenu en l'élevant à la puissance deux (il est multiplié par lui-même). On donne alors à ce nombre initial le nom de Racine Carrée. Et de même en partant d'un nombre au carré et en cherchant d'où il provient.

Mais ne brûlons pas les étapes, reprenons les choses par leur commencement !

Les racines carrées s'utilisent dans de nombreuses parties des mathématiques comme la résolution des équations du second degré ou les applications du théorème de Pythagore.


Petit rappel sur les carrés

La notion de racine carrée d'un nombre est étroitement liée à la notion de carré.

à retenir

Le carré d'un nombre est ce nombre multiplié par lui-même.

Le carré du nombre \(x\) est égal \(x×x\) qu'on écrit aussi \(x^2\).


Pourquoi dit-on Carré pour Puissance 2 ?

Il se trouve que la surface d'un carré dont un côté est de longueur \(x\) vaut \(x^2\).

Donc un nombre au carré peut être représenté par la figure d'un carré dont le côté sera d'une longueur égale à ce nombre.
Un bon petit dessin et vous le verrez bien !

la surface d'un carré est égale au carré de la longueur de son côté

Un carré a tous ses côtés égaux.
Sur la figure nous leur donnons la longueur \(x\)
La surface est donc égale à \(x×x\)
Nous visualisons ainsi le nombre \(x^2\)
C'est le côté du carré à la puissance \(2\)

Et n'allez pas penser que tout ça on s'en fiche un peu. Non ! C'est toujours bien de visualiser une notion, on la retient mieux !


Que vient faire la Racine dans tout ça ?

Le mot racine désigne ce qui se trouve à l'origine, au début, à la source, au fondement... De ce point de vue, le côté d'un carré est ce qui le définit le mieux, ce qui en est l'origine. C'est lui qui permet de calculer la surface du carré dont il est le côté. On pourrait presque affirmer que le côté est la « racine du carré ».

La racine carrée de la surface d'un carré est égale à la longueur du côté de ce carré.

Ce qui reste une phrase un peu compliquée !

Ce qui nous intéresse ici ce sont les nombres. Prenons un carré de longueur de côté égale à \(3\), sa surface est donc égale à \(3×3\), soit \(3^2\).

Nous voyons donc que la racine carrée d'un carré de surface \(3^2\) est égale à \(3\) :

racine carrée de \(3^2=3\)

Nous constatons que \(3\) se retrouve dans les deux membres.

La racine carrée d'un nombre ( ici \(9\) ) est le nombre ( ici \(3\) ) dont le carré est égal au nombre donné ( c'est à dire \(9\) qui vaut \(3^2\) ).


Carrés et Racines Carrées

Nous voyons que le lien entre un carré et sa racine est étroit. Une fois cette relation bien comprise le reste ne sera qu'affaire de mémoire et de technique de calcul.

Nous savons élever au carré un nombre : \(3\longmapsto3^2=9\)

Nous avons compris ce que veut dire racine d'un nombre : \(9=3^2\longmapsto3\)

Elever au carré et prendre la racine carrée sont des fonctions réciproques, c'est à dire qu'en les appliquant l'une après l'autre on revient au nombre initial.

Constatons-le avec notre exemple numérique :

\[3\xrightarrow{\text{puissance 2}}9\xrightarrow{\text{racine carree}}3\]

Et :

\[9\xrightarrow{\text{racine carree}}3\xrightarrow{\text{puissance 2}}9\]

Nous allons voir que nous pouvons écrire cette relation entre le carré et la racine sous forme de formule mathématique.


Notation des racines carrées

à retenir

Pour noter une racine carrée, on utilise le symbole : \[\large{\sqrt{\;\;}}\] que l'on appelle le radical.
L'opération qu'il indique si on effectue le calcul s'appelle l'extraction d'une racine carrée.

La racine carrée de \(4\) se note \(\sqrt4\) et se lit racine de 4 ou racine carrée de 4.

La barre horizontale recouvre toute l'expression dont on doit prendre la racine carrée : \(\sqrt{157×12+5}\)


Quand peut-on calculer une racine carrée ?

à retenir

On peut calculer une racine carrée quand le nombre dont on veut la racine est positif (nombre réel  \(\geqslant0\))

Il est possible de calculer la racine de \(4\) (donc écrire \(\sqrt4\)), mais pas la racine carrée de \(-4\) (on ne peut pas écrire \(\require{cancel}\cancel{\sqrt{-4}}\)).


Définition de la racine carrée d'un nombre

La définition d'une racine carrée paraît au premier abord assez imbuvable, mais tenez bon, ça ne durera pas !

à retenir

La racine carrée d'un nombre \(x\) positif est le nombre \(a\) tel que \(a\) élevé à la puissance 2 (au carré) donne pour résultat \(x\).

Cet énoncé se traduit mathématiquement par la formule : \[\boxed{\sqrt x = a\;\;\;\;\small{\mathbf{si}}\normalsize\begin{cases}a^2 = x\; \\ x\geqslant 0 \end{cases}}\]

Notez bien que \(x\) n'est pas forcément un nombre entier !

Calculer une racine carrée, c'est répondre à une petite énigme : quel est le nombre qui, élevé au carré, donne la valeur qui est sous le radical ?


Tout s'éclaircit avec un exemple !

?

Quelle est la racine carrée de \(4\) ?

En reprenant exactement la définition, nous voyons que nous cherchons un nombre \(a\) tel que \(a^2=4\) (\(4\) jouant ici le rôle du \(x\))

Ce \(a\) que nous cherchons est le nombre qui élevé au carré a pour résultat \(4\)

Sans faire durer le suspense, nous savons bien que \(4=2^2\)

Le nombre \(a\) est donc égal à \(2\) et nous pouvons dire que la racine carrée de \(4\) est \(2\)

En utilisant le symbole de la racine carrée nous écrivons, \(\sqrt4 = 2\)


Quelques propriétés remarquables

Nous avons quelques règles importantes à retenir.

  1. Nous commençons par une règle impérative :

    à retenir

    Une racine carrée est un nombre positif, autrement dit si on effectue le calcul d'une racine carrée, le résultat de l'opération sera \(\geqslant0\).


  2. De l'équation définition nous pouvons déduire que : \[\boxed{(\sqrt x)^2=x\;\;\;\;\small{\mathbf{si}}\normalsize\;x\geqslant 0}\]

    Une petite démonstration au cas où...

    Pour \(x\geqslant 0\) et \(a^2=x\) nous avons : \(\sqrt x=a\)
    Nous élevons les deux membres à la puissance 2 : \((\sqrt x)^2=a^2\)
    Nous reprenons la condition \(a^2=x\) et nous obtenons : \((\sqrt x)^2=x\)

    Nous voyons ici que \(\sqrt x\) est racine, c'est à dire solution, d'une équation de la forme \(y^2=k\) (voir ici pour approfondir ces problèmes d'équations).

    Nous retrouvons l'idée que carré et racine sont des fonctions réciproques. Nous pouvons maintenant écrire leur lien sous une forme plus mathématique en reprenant l'exemple de \(9\) : \[(\sqrt9)^2=9\] En appliquant à \(9\) la fonction racine, puis la fonction puissance \(2\) au résultat, nous retrouvons le point de départ, c'est à dire \(9\).


  3. La propriété suivante traduit simplement la phrase : la racine du nombre \(x\) élevé au carré est ce nombre \(x\) lui-même.

    \[\boxed{\sqrt{x^2} = x\;\;\;\;\small{\mathbf{si}}\normalsize\;x\geqslant 0}\]

    Dans cette formule, voici encore nos fonctions réciproques en action. Nous appliquons à \(3\) la fonction puissance \(2\) puis au résultat la fonction racine : \[\sqrt{3^2}=3\] Et nous retrouvons \(3\) !


  4. Il peut être intéressant de savoir que \[\boxed{\sqrt x=x^\frac12}\] ça peut servir avec Excel ou GeoGebra ou...


  5. L'équation \(y^2=k\) (\(k\) est un nombre positif) admet deux solutions :

    • \(y=\sqrt k\) où \(y\) sera un nombre positif
    • \(y=-\sqrt k\) où \(y\) sera un nombre négatif

    En effet :

    \[\begin{align} y^2 & = (\sqrt k)^2 \\ & = k \end{align}\]

    Ou :

    \[\begin{align} y^2 & = (-\sqrt k)^2 \\ & = (-\sqrt k) × (-\sqrt k) \\ & = (\sqrt k)^2 \\ & = k \end{align}\]

    L'équation \(y^2=11\) a pour solutions \(y=\sqrt{11}\) et \(y=-\sqrt{11}\)


Racine carrée des 10 premiers nombres entiers

Le calcul d'une racine carrée donne en fait rarement le résultat rond d'un nombre entier.

Il faut connaître par coeur les carrés des premiers entiers, cela vous aidera à résoudre les exercices.

Le calcul des racines de \(0,1,4,9\) donne un nombre entier :

\[\sqrt0=0\] \[\sqrt1=1\] \[\sqrt4=2\] \[\sqrt9=3\]

\(1,4,9\) sont des carrés parfaits, c'est à dire le carré d'un nombre entier

Le calcul des racines des nombres entiers \(2,3,5,6,7,8\) ne donne pas un résultat entier :

\(\sqrt2,\sqrt3,\sqrt5,\sqrt7\) ne peuvent pas se calculer d'une façon exacte et sauf si on si on vous le demande, laissez-les avec le radical.

Mais les entiers \(6\) et \(8\) sont un cas particulier :

Les racines \(\sqrt6\) et \(\sqrt8\) peuvent se simplifier. Nous vous donnerons leur décomposition en vous expliquant comment réduire des expressions comprenant des racines carrées.



Opérations possibles sur les racines carrées

Il existe deux propriétés à bien connaître. Elles facilitent vraiment les calculs avec les racines carrées.


Multiplication de racines carrées

à retenir

Le produit des racines carrées de deux nombres est égal à la racine carrée du produit de ces nombres.

\[\boxed{\sqrt a × \sqrt b = \sqrt{a×b}}\]


Division de racines carrées

à retenir

Le rapport des racines carrées de deux nombres est égal à la racine carrée du rapport de ces nombres.

\[\boxed{\frac{\sqrt a}{\sqrt b} = \sqrt{\frac ab}\;\;\;\;\small{\mathbf{si}}\normalsize\;b\neq 0}\]

Là nous avons une contrainte impérative, b doit être différent de zéro (nous savons bien qu'il n'est pas possible de diviser par 0...)


Addition et soustraction de racines carrées

Nous pouvons multiplier et diviser des racines carrées, mais - malheureusement - il n'existe pas le même genre de formules pour l'addition et pour la soustraction...


Simplification d'expressions utilisant des racines carrées.

S'il n'existe pas de formules toutes faites, il est souvent possible de simplifier malgré tout des expressions comportant des sommes ou des différences de racines carrées

Pour les simplifier, nous devons décomposer les expressions pour faire apparaître des carrés parfaits et ne conserver sous forme de racine que les termes dont le calcul ne donnerait pas un nombre entier.

Dans un premier temps, étudions les exemples de \(6\) et de \(8\).

Nous pouvons décomposer \(6\) en produit des entiers \(2\) et \(3\) : \[6=2×3\] Donc \[\sqrt6=\sqrt{2×3}\] En appliquant la propriété des produits de racines carrées : \[\sqrt6=\sqrt2×\sqrt3\]

Nous avons là la simplification ultime de l'expression, aller plus loin serait effectuer le calcul.

De la même façon \(8\) est le produit de \(2\) et \(4\)

\[\begin{align} \sqrt8 & =\sqrt{2×4} \\ & =\sqrt2×\sqrt{2^2} \\ & =\sqrt2×2 \\ & =2\sqrt2 \end{align}\]

Nous sommes au bout du calcul !


Une suite d'opérations sur les racines carrées est un peu décourageante à regarder, l'oeil ne sait pas trop où se fixer. Ce n'est qu'une impression : prenez-le temps de dérouler les calculs ligne à ligne, ou encore mieux de les réécrire. La mécanique du calcul se révèlera à vous...

Deux petits exercices vont nous le montrer...

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Simplifier l'expression \(\sqrt{20}+\sqrt{45}\)

La première étape consiste à décomposer chaque nombre en produit de facteurs, en séparant les facteurs irréductibles et ceux qui sont des carrés parfaits.

\[\sqrt{20}+\sqrt{45} = \sqrt{4×5}+\sqrt{9×5}\]

Nous appliquons ensuite la règle de multiplication des racines carrées que nous venons de vous donner

\[\sqrt4×\sqrt5+\sqrt9×\sqrt5\]

Pour bien comprendre, nous faisons apparaître les carrés parfaits

\[\sqrt{2^2}×\sqrt5+\sqrt{3^2}×\sqrt5\]

Nous effectuons le calcul des racines carrées

\[2×\sqrt5+3×\sqrt5\]

Nous factorisons le facteur commun (voir ce qu'est la factorisation).

\[(2+3)\sqrt5\]

Nous effectuons l'addition

\[5\sqrt5\]

Donc l'expression \(\sqrt{20}+\sqrt{45}\) simplifiée est égale à \(5\sqrt5\)

Dans \(5\sqrt5\) , le \(×\) est implicite car il est inutile d'écrire \(2×\sqrt5\) (cf. ce rappel sur les multiplications implicites dans les équations).

Le résultat du calcul de la racine carrée d'un nombre est rarement un nombre entier. C'est le cas de la racine carrée de 5. Il est plus simple et plus juste (sauf si on vous le demande) de laisser \(\sqrt5\) plutôt que le \(2,23606798...\) que votre machine à calculer se fait un plaisir de vous fournir.


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Simplifier l'expression \(\sqrt{20}−\sqrt{45}\)

Avec la soustraction, la méthode est exactement la même !

\[\begin{align} \sqrt{20}−\sqrt{45} & = \sqrt{4×5}−\sqrt{9×5} \\ & = \sqrt4×\sqrt5−\sqrt9×\sqrt5 \\ & = 2×\sqrt5−3×\sqrt5 \\ & = (2−3)\sqrt5 \\ & = −\sqrt5 \\ \end{align}\]

En conclusion, cette manipulation est aussi possible avec des formules plus longues comprenant toutes les opérations possibles.


Calcul d'une racine carrée

L'extraction d'une racine carrée, le calcul en fait, est une opération qui demande de la patience. Le résultat est en général un nombre sans fin (irrationnel), on ne peut pas avoir un résultat exact.

Il existe plusieurs méthodes pour extraire une racine carrée :

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