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capte-les-maths.com → Notions de Base › Les équations : Comprendre ce qu'est une équation (page 1)

Comprendre ce qu'est une équation


Nous allons comprendre, avec des mots simples, ce que veut dire ce terme mystérieux : équation. A partir d'un exemple concret et imagé, nous découvrirons les premières notions importantes : inconnue, résolution, solution, racine... et à quoi ces égalités ressemblent. Nous apprendrons même à résoudre notre première équation !

Les équations sont un outil fondamental des mathématiques, mais au-delà elles ont gagné notre vie courante et notre langage quotidien. Cela vaut la peine d'étudier avec soin ce chapitre que nous avons rédigé avec les méthodes habituelles de capte-les-maths.com


Sommaire de la page


Définition simple d'une équation

Il est indispensable dans un premier temps de bien comprendre, avec de simples mots français, ce que représente une équation.

Voyons d'abord, pour ceux qui penseraient n'en avoir jamais croisée, à quoi peut ressembler une équation. Prenons un exemple connu, l'égalité d'Einstein \(e = mc^2\)

Peu importe pour nous ici ce qu'elle veut dire ! Observons-la seulement. Nous voyons deux morceaux séparés par le signe égal. Ce qui nous fournit notre première conclusion.

Une équation est une égalité mathématique. Sa première caractéristique évidente, c'est l'utilisation du signe égal (\(=\)) qui la sépare en deux parties.

Mais il y a plus ! Et ça ne se voit peut-être pas dans l'exemple...

Une équation est composée de termes que l'on connaît et d'autres que l'on ne connaît pas, et que justement on cherche. Il faut voir une équation comme une question que l'on se pose, une énigme : que vaut cette quantité que je ne connais pas ?

Dans l'équation d'Einstein, la question pourrait être : que vaut \(e\) (que dans ce cas je ne connais pas) par rapport à \(m\) et \(c\) (que je connais) ?

Retenons donc que

à retenir

Une équation est une égalité mathématique composée de paramètres connus et d'autres inconnus. C'est une question que l'on se pose et dont il faut chercher la réponse.


Un exemple pour bien comprendre la notion d'équation

Pour bien visualiser et comprendre le fonctionnement d'une équation, nous allons prendre l'image d'une balance d'autrefois.

Ces balances, d'avant l'électronique, ont deux plateaux séparés par un fléau. On s'en sert en amenant les deux plateaux à l'équilibre, cela en ajoutant ou en enlevant une quantité de l'un des côtés.

Chaque plateau représente un côté de l'équation et le fléau représente le signe égal.

comment fonctionne une équation : l'exemple de la balance

Prenons un petit exemple pour bien visualiser le fonctionnement : sur le plateau gauche de la balance nous plaçons 2 kg de pêches et sur le plateau droit 1 kg de pommes. Le plateau de gauche est plus bas que celui de droite, alors pour les aligner, nous ajoutons des poires aux pommes, jusqu'à ce que les deux plateaux soient au même niveau.

Le fléau, situé au milieu, mesure le mouvement simultané des deux plateaux en sens inverse l'un de l'autre (quand l'un monte, l'autre descend).

Et si maintenant, les 2 plateaux sont à la même hauteur, c'est que les poids sont les mêmes sur le plateau de gauche et sur le plateau de droite : les poids sont égaux. C'est ce moment précis où la balance est à l'équilibre qui nous intéresse pour comprendre le fonctionnement d'une équation.

Dans une équation, nous pouvons retrouver cette idée d'équilibre grâce au signe égal (\(=\)). C'est fondamental !

Passons maintenant en douceur à une traduction mathématique du fonctionnement de notre balance. Nous pouvons traduire dans une équation, l'égalité du poids de nos fruits sur chaque plateau. Et nous obtenons :

Poids des pommes + Poids des poires = Poids des pêches

Jusque là, rien de bien sorcier. Mais nous pouvons préciser un peu le vocabulaire :

  • A gauche du signe égal, nous avons une entité que l'on appelle le membre de gauche de l'équation.

  • A droite du signe égal, nous avons une autre entité que l'on appelle le membre de droite de l'équation.

Et voici la règle fondamentale de fonctionnement d'une équation, règle à respecter dans tous les cas.

à retenir

Dans une équation, les deux côtés du signe égal doivent être égaux, toujours !

Nous pouvons déplacer des termes d'un côté à l'autre du signe égal, mais toujours de façon que l'égalité des deux membres de l'équation reste vraie.

Il traîne là dessous une petite idée. C'est que dans une équation on compare des choses qui sont comparables (car dans la même unité, dans l'exemple de la balance, le kilo) ou qui participent du même champ sémantique : par exemple l'équation (pomme = poire) n'a aucun sens si on se place dans une idée de mesure de masse, mais si on se place dans la notion de fruit, alors l'égalité peut être écrite et est valable.

?

Supposons maintenant que nous voulions connaître le poids des poires (nous ne le connaissons pas et donc nous le cherchons, pourquoi pas !).

Le poids des poires est donc ce paramètre inconnu dont nous parlions quand nous avons défini ce qu'est une équation.

Si nous enlevons toutes les pommes du plateau de droite, nous devons enlever l'équivalent en poids de pêches de l'autre côté, pour que la balance reste à l'équilibre (pour que l'égalité soit respectée). Nous avons donc :

Poids des poires = Poids des pêches − (équivalent en pêches du poids des pommes)

Ecrit comme ça, c'est un peu lourd et pas très clair ! Mais nous savons que cet équivalent en poids de pêches est égal au poids des pommes et donc que dans notre équation il est plus simple d'écrire

Poids des poires = Poids des pêches − Poids des pommes

Et nous avons trouvé le poids de nos poires !

Nous pouvons remarquer que tout se passe alors comme si en traversant de l'autre côté du égal, le signe des pommes avait été inversé. On pourrait dire que le signe égal agit comme un miroir quand on passe à travers, ou comme un vortex pour les amateurs de SF.


Première règle d'écriture d'une équation

Voici une première consigne à respecter. Elle permet de poser avec exactitude ce que l'on cherche.

Cette règle d'écriture est importante pour bien raisonner avec les équations, retenez-la, mais nous aurons l'occasion d'y revenir souvent dans la suite du cours et dans les exercices.

à retenir

En écrivant une équation, il est préférable d'écrire ce que l'on cherche dans le membre de gauche, c'est plus clair à lire et donc à comprendre.

Cela se comprend avec notre exemple. Si le poids sur le plateau de droite est égal à celui sur le plateau de gauche, alors le poids sur le plateau de gauche est égal à celui sur le plateau de droite. Ca à l'air d'une évidence en parlant de la balance, mais cela veut dire aussi que si nous avons écrit

Poids des pommes + Poids des poires = Poids des pêches

Nous aurions pu écrire

Poids des pêches = Poids des pommes + Poids des poires

Ce qui est indispensable, c'est de maintenir toujours l'égalité des deux membres !


Qu'est-ce que l'inconnue dans une équation ?

Nous l'avons vu, dans une équation, il y a forcément quelque chose que l'on ignore, une part d'inconnu !

L'inconnue ! Elle est bien sûr pleine de mystères ! C'est elle que l'on aimerait tellement aborder pour mieux la connaître... Et dans les maths comme dans la vie, c'est pareil...

à retenir

L'inconnue dans une équation, c'est la valeur que l'on cherche. Tout simplement !

En général dans les équations, on représente l'inconnue par une lettre, le plus souvent le \(x\). Mais cela n'a rien d'obligatoire. On pourrait choisir le point d'interrogation « ? ».

à retenir

La valeur de l'inconnue peut varier, c'est pour cela qu'on appelle aussi l'inconnue une Variable.

Dans notre exemple, l'inconnue était le poids des poires. Répétons-le, nous ne connaissions pas cette inconnue avant de l'avoir cherchée.


Représentation mathématique des équations

C'est un peu pour ça qu'on est là ! Faire des maths appliquées ! Vous verrez, ce n'est pas vraiment difficile, si on avance étape par étape.

Comme vous l'avez constaté, nous pouvons représenter les équations avec des mots, mais bien sûr pour les utiliser, il faut les écrire sous la forme mathématique. Voici donc votre premier exemple tout simple d'équation :

\[x + 1 = 3\]

Analysons-la, ce qui nous permettra de fixer le vocabulaire et les principes.

\(x + 1\) \(=\) \(3\)
Membre de gauche de l'équation.
Il contient une variable inconnue.
Signe égal, toujours au milieu de l'équation.
Il signifie qu'un membre doit toujours avoir la même valeur que l'autre.
Membre de droite de l'équation
Le plateau de gauche de la balance Le signe que la balance est équilibrée Le plateau de droite de la balance

Voilà ! Maintenant que nous savons reconnaître des équations, nous allons nous attaquer à ce qu'on appelle leur résolution, c'est à dire que nous allons chercher quelle peut bien être la valeur de notre variable inconnue.



Que veut dire : résoudre une équation ?

Résoudre une équation, c'est trouver la réponse à la question qu'elle nous pose (toujours la même) : que vaut la variable inconnue ?

En fait, nous avons déjà résolu une équation quand nous avons déterminé le poids de nos poires (1 kg, vous l'aviez calculé n'est-ce pas) ! Car c'est cela la résolution des équations, trouver la valeur que l'on ne connaît pas dans l'égalité, la réponse à notre question, la solution de notre problème... Donc :

à retenir

Pour résoudre une équation, il faut trouver la valeur de la lettre inconnue qui va vérifier l'égalité.

Cette valeur s'appelle la Solution ou la Racine de l'équation.

Nous pouvons donc dire que :

à retenir

Résoudre une équation, c'est trouver l'ensemble des solutions qui font que l'égalité est vraie.

Donc rapidement dit, résoudre une équation c'est trouver la valeur de \(x\) qui la vérifie (c'est à dire qu'avec cette valeur de \(x\), les deux membres sont égaux).

Pour couvrir tous les cas, et ne pas se poser dans cette partie du cours des questions inutiles, nous considérerons que les solutions que nous cherchons appartiennent à l'ensemble des nombres réels, c'est à dire à l'ensemble de tous les nombres possibles.

Pour nous donner le moral, commençons par étudier un exemple simple. Soit l'équation :

\[x + 5 = 7\]

Nous voyons immédiatement que nous avons :

\[\color{red}2 + 5 = 7\]

Et nous l'avons notre solution ! Nous trouvons que si \(x\) prend la valeur 2 alors l'égalité est vérifiée. C'est cela résoudre des équations ! Nous pouvons dire que cette équation a pour solution (ou pour racine) le nombre 2.

Et nous avons résolu notre deuxième équation !

Nous allons pouvoir maintenant aborder tranquillement des cas plus difficiles, avec l'étude des équations du premier degré à une inconnue. Et c'est à la page suivante !

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