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capte-les-maths.com → Applications › Les équations : Simplifier l'équation : première règle pour la résoudre ! (page 3)

Simplifier l'équation : première règle pour la résoudre !


Comment résoudre une équation du premier degré ? Nous allons vous expliquer en détail les premières règles pour y réussir. Le seul objectif de ces techniques est de simplifier l'équation (on dit aussi la réduire). Cette première étape où nous détaillons des opérations simples, mais à connaître parfaitement, est indispensable avant de vous apprendre une méthode plus rapide : la transposition des termes.

Si le vocabulaire technique que nous employons ne vous paraît pas clair, vous devriez commencer sans doute par lire les explications sur ce qu'est une équation et en particulier sur celles du premier degré à une inconnue, car c'est sur ces équations que nous travaillerons ici !


Sommaire de la page


Reconnaître les termes dans une équation

Nous l'avons vu, une équation est formée de plusieurs groupes d'expressions que l'on appelle les termes de l'équation. Il existe deux types de termes :

  1. Les termes en \(x\), qui sont par exemple de la forme \(x\), \(−\,x\), \(2x\), \(−\,3x\) (pour en parler nous les associerons au signe qui précède)

  2. Les valeurs numériques (c'est à dire les termes sans \(x\)) comme \(2\), \(+\,2\), \(−\,2\) (pour en parler nous les associerons au signe qui précède)

Vous remarquez donc que quand nous parlons d'un terme, nous l'associons au signe d'opération placé avant (s'il n'y en pas de visible alors ce signe est le \(+\)).


Que veut dire simplifier une équation ?

Simplifier une équation du premier degré à une inconnue signifie grosso modo qu'à la fin, nous voulons avoir tous les \(x\) dans le membre de gauche et toutes les valeurs numériques dans le membre de droite. C'est cela l'objectif !

Nous allons vous expliquer en détail la méthode pour y arriver. Etudiez-la avec soin, et ne vous inquiétez pas, quand vous la maîtriserez nous pourrons aller beaucoup plus vite (en sautant les étapes qui vous seront devenues évidentes).

Maintenant que nous avons défini notre stratégie (avoir les \(x\) à gauche et le reste à droite) nous nous trouvons face à quatre situations possibles.

Le principe, c'est que nous allons transformer notre équation de base en équations équivalentes, en ajoutant ou en enlevant des expressions, en même temps de chaque côté de l'équation.

Nous avons le droit de le faire car une des propriétés des égalités est de ne pas changer quand on « ajoute », « enlève », « multiplie par », ou « divise par » une même expression chaque côté de l'égalité. Nous pouvons l'appliquer aux équations du premier degré.

Nous n'allons bien sûr pas prendre au hasard chaque expression ! Mais étudions plutôt chaque cas !


Première méthode de résolution d'une équation du premier degré

Avec cette technique, nous obtiendrons une équation plus simple et donc bien plus facile à résoudre (car c'est ça notre but !). Nous allons, comme nous l'avons annoncé, détailler au maximum chaque étape.

Le principe : faire disparaître les termes mal placés

Cette première méthode consiste à faire disparaître (ou éliminer, ou neutraliser) les termes qui ne sont pas dans le bon membre de l'équation (les termes en \(x\) qui sont à droite ou les termes numériques qui sont à gauche).

C'est en fait assez facile : il faut être soigneux, savoir utiliser les quatre opérations et reconnaître un terme positif ou négatif !

Pour éliminer un terme, la méthode sera de lui ajouter son opposé. Bien sûr il faudra prendre quelques précautions, la première étant de vous rappeler ce que veut dire ce mot « opposé » !

Rappel : qu'est-ce que l'opposé d'un terme ?

Nous l'avons vu, un terme est composé d'un signe (\(+\) ou \(−\)) et d'un autre élément (\(x\) ou nombre).

L'opposé d'un terme, c'est le terme qui a le signe contraire.
Pour obtenir l'opposé d'un terme, on en change seulement le signe, c'est à dire qu'on le passe de \(+\) à \(−\) ou de \(−\) à \(+\).

Par exemple, l'opposé de \(+\,2\) est \(−\,2\), l'opposé de \(−\,3x\) est \(3x\).

Mais pourquoi donc vous parler de l'opposé d'un terme ? Parce qu'il existe la propriété suivante qui va nous permettre de simplifier beaucoup les équations du premier degré.

Quand on ajoute un terme et son opposé, le résultat est égal à zéro, la somme des deux est nulle.

Nous voyons que \(+\,2−\,2=0\) et \(−\,3x+3x=0\).

Le secret de la résolution : ajouter l'opposé du terme à éliminer !

Revenons à nos équations. Voici maintenant la clé de la méthode que nous allons appliquer :

à retenir

Pour simplifier une équation, nous allons, dans chacun des deux membres, inscrire le terme opposé à celui que nous voulons éliminer.

Et vous vous demandez peut-être à quelle sauce nous allons vous manger ! Ne vous inquiétez pas, comme d'habitude, avec les exemples tout s'éclaircira.


Apprendre à utiliser la méthode de simplification

Passer par cette première technique est indispensable pour bien comprendre comment on résout une équation. Quand vous la maîtriserez parfaitement, vous pourrez aller beaucoup plus vite avec la technique de transposition des termes.

Comment éliminer les termes positifs ?

Nous reconnaissons les termes positifs car ils sont précédés de \(+\) ou de rien.

Pour faire disparaître un terme positif, il va falloir lui ajouter son opposé négatif. Le résultat sera zéro.

Mais nous devons toujours conserver l'égalité des deux membres de l'équation. Voici la règle qui nous y autorise :

à retenir

Si nous retranchons un même terme aux deux membres d'une équation, l'égalité est toujours vérifiée.

Pour bien comprendre, souvenons-nous de l'exemple de la balance : quand nous avons retranché (ce qui veut dire enlevé, ou soustrait) un poids identique de chaque plateau de la balance, alors elle était toujours équilibrée.

Appliquons notre règle à l'équation suivante :

\[x + 2 = 5\]

Nous voyons \(2\) dans le membre de gauche, il faut donc le faire disparaître pour n'avoir que des \(x\) à gauche. Pour cela nous ajoutons à \(+\,2\) sont opposé, c'est à dire \(−\,2\). La somme des deux termes vaudra zéro. Et pour respecter la règle et conserver une véritable équation, nous devons en même temps enlever \(2\) au membre de droite.

Donc nous retranchons le nombre \(2\) à gauche et à droite du signe égal.

\[x\,\underbrace{+\,2 \color{red}{− 2}}_{=\,0} = 5 \color{red}{− 2}\]

En effectuant le calcul, nous obtenons :

\[x = 3\]

Donc l'équation, \(x + 2 = 5\) a pour solution \(x = 3\)

Il est évident que le nombre que l'on doit ajouter à 2 pour obtenir 5 est le nombre 3, mais c'est petits pas après petits pas que l'on avance loin. Tant mieux si cela vous paraît simple.

Cette propriété n'est pas seulement valable avec des nombres mais aussi avec n'importe quelle expression mathématique.

Par exemple, si nous prenons l'équation

\[x + 2 = 5 + 2x\]

Nous pouvons enlever \(2x\) de chaque membre :

\[x + 2 \color{red}{- 2x} = 5\,\underbrace{+\,2x \color{red}{- 2x}}_{=\,0}\]

Ce qui nous donne :

\[x + 2 - 2x = 5\]

Ensuite, pour simplifier encore plus l'équation, nous pouvons faire la même opération qu'au début avec le nombre \(2\).

Vous constaterez que l'opération de neutralisation des termes positifs se place en général vers le début du processus de résolution d'une équation.

Rien ne vaut la pratique pour apprendre ! Nous vous avons concocté un exercice interactif sur des équations où il faut éliminer des termes positifs par simplification.

Comment éliminer les termes négatifs ?

Nous reconnaissons les termes négatifs car ils sont précédés du signe \(−\).

Pour neutraliser un terme négatif, il va falloir lui ajouter son opposé positif. Le résultat sera zéro.

Et nous disposons d'une règle analogue à celle du premier cas.

à retenir

Si on ajoute un même terme aux deux membres d'une équation, l'égalité est toujours vérifiée.

Prenons l'exemple de l'équation :

\[x − 3 = 7\]

Nous devons éliminer le terme numérique \(−\,3\) du membre de gauche. Pour cela nous inscrivons le terme \(+\,3\) à gauche et à droite du signe égal.

\[x\,\underbrace{−\,3 \color{red}{+ 3}}_{=\,0} = 7 \color{red}{+ 3}\]

En effectuant le calcul, nous obtenons :

\[x = 10\]

Donc l'équation, \(x − 3 = 7\) a pour solution \(x = 10\)

Nous pouvons utiliser cette propriété avec toutes les expressions mathématiques.

Pour l'observer, étudions l'équation :

\[4x = 5 − 6x\]

Nous pouvons ajouter le terme \(+\,6x\) à chaque membre :

\[4x \color{red}{+ 6x} = 5 \,\underbrace{−\,6x \color{red}{+ 6x}}_{=\,0}\]

Et nous obtenons :

\[4x +6x = 5\]

En regroupant les termes en \(x\) nous arrivons à \(10x = 5\). Nous allons apprendre à simplifier cette équation avec la propriété que nous expliquons dans la section juste après.

Vous constaterez que l'opération d'élimination des termes négatifs se place en général vers le début du processus de résolution d'une équation.

Pour être sûr d'avoir bien compris la méthode, voici un exercice où vous devrez simplifier des équations avec des termes négatifs.

Que faire si l'inconnue est multipliée par une valeur ?

Nous avons éliminé les termes numériques du membre de gauche de l'équation. Nous sommes face maintenant à des termes de la forme \(x\) multiplié par un \(nombre\) (\(3x\) ou \(2,4x\) par exemple), appelé coefficient.

Si nous voulions être un tout petit peu plus général, nous pourrions dire que le membre de gauche aurait la forme \(ax\) (où \(a\) serait un nombre quelconque). Eh bien, c'est ce coefficient \(a\) que nous allons faire disparaître au moyen d'une simple division.

De la même façon que pour l'addition et la soustraction d'un terme, il existe une propriété des égalités bien pratique.

à retenir

Si on divise par un même nombre chaque membre d'une équation, l'égalité reste vraie.

Ce nombre par lequel on divise ne peut pas être zéro.

En voici une illustration avec l'équation :

\[10x = 5\]

Nous devons faire disparaître le 10 du membre de gauche, donc nous divisons par 10 le côté gauche et le côté droit du signe égal.

\[\frac{10x}{\color{red}{10}}=\frac{5}{\color{red}{10}}\]

Le membre de gauche de l'équation se simplifie car nous avons 10 au numérateur et au dénominateur :

\[\require{cancel}\frac{\cancel{10}x}{\cancel{\color{red}{10}}}=\frac{5}{\color{red}{10}}\]

et nous obtenons

\[x=\frac{5}{10}\]

Puis en effectuant le calcul de la fraction, nous trouvons :

\[x = 0,5\]

Donc l'équation \(10x = 5\) a pour solution \(x = 0,5\)

Cette opération de simplification se place à la fin du processus de résolution d'une équation.

Nous vous avons bien sûr prévu un petit exercice de simplification d'équations où l'inconnue est multipliée par un coefficient.

Que faire si l'inconnue est divisée par une valeur ?

Une fois que nous n'avons que des \(x\) du côté de gauche de l'équation, nous pouvons aussi tomber sur la forme \(x\) divisé par un \(nombre\), \(\displaystyle\frac{x}{5}\) par exemple.

Comme pour la multiplication dans le cas précédent, nous pourrions dire que le membre de gauche a la forme \(\displaystyle\frac{x}{a}\) (où \(a\) serait un nombre quelconque sauf zéro). Mais là, c'est par une multiplication que nous allons faire disparaître ce \(a\).

Et nous retrouvons encore le même type de fonctionnement.

à retenir

Si on multiplie chaque membre d'une équation par un même nombre, l'égalité reste vraie.

Regardons le processus avec l'exemple suivant :

\[\frac{x}{2} = 5\]

Le membre de gauche est divisé par \(2\). Il faut donc le multiplier par \(2\) pour faire disparaître le \(2\) qui est sous la barre de fraction. Et pour maintenir l'égalité, il faut en même temps multiplier par \(2\) le côté droit du signe égal.

\[\frac{x}{2} × \color{red}2 = 5 × \color{red}2\]

Le membre de gauche de l'équation se simplifie car nous avons 2 au numérateur et au dénominateur :

\[\require{cancel}\frac{x}{\cancel{2}} × \cancel{\color{red}2} = 5 × \color{red}2\]

et nous obtenons

\[x=5 × 2\]

Puis en effectuant la multiplication, nous obtenons :

\[x = 10\]

Donc l'équation, \(\displaystyle\frac{x}{2} = 5\) a pour solution \(x = 10\)

Cette opération se place à la fin du processus de résolution d'une équation.

Retrouvez notre exercice de simplification d'équations où l'inconnue est divisée par un coefficient.

Est-ce que vous l'avez remarqué ? L'air de rien vous avez appris à résoudre des équations du premier degré.



Technique générale de résolution d'une équation du premier degré

Avec un exemple un peu plus complexe, nous utiliserons toutes les techniques que nous venons d'apprendre. Détaillé comme cela, c'est un processus qui semble long et fastidieux. Pourtant, surtout si résoudre une équation vous paraît comme gravir l'Everest, plongez-vous lentement dans l'enchaînement des calculs. Et vous verrez, ce n'est pas si difficile que ça !

Avant tout : ne pas se précipiter !

Voici donc l'équation légèrement plus compliquée que nous voulons résoudre (nous cherchons la valeur de \(x\) pour laquelle l'égalité est vraie) :

\[5x + 7 = 3x − 4\]

Les principes de base sont toujours les mêmes : nous allons partager les calculs en deux parties en nous occupant d'abord des termes en \(x\) puis dans un deuxième temps des termes numériques.

!

Attention : n'allez pas trop vite, réfléchissez bien à la raison de chaque opération. N'oubliez pas notre objectif : simplifier l'équation en faisant disparaître des termes.

Regrouper à gauche du signe égal les termes inconnus.

Repérons d'abord les termes en \(x\) : nous avons \(5x\) (qui est déjà à gauche) et \(3x\) (qui ne doit pas rester à droite).

Nous devons donc éliminer \(3x\) du côté droit. Pour cela, et comme nous l'avons vu dans le premier cas, nous allons lui soustraire \(3x\) (faire \(− 3x\)). Mais nous ne devons pas oublier que l'égalité doit toujours rester vraie, quelles que soient les manipulations que nous lui faisons subir : il faut aussi retirer \(− 3x\) du membre de gauche de l'équation. Ecrivons-le :

\[\array{5x + 7 \color{red}{− 3x} = & 3x & −\,4 & \color{red}{−\,3x}\\ \, & \;\;\;\;↘ & \, & ↙\;\;\;\; \\ \, & \, & ^{=\,0} & \, }\]

Et plus d'inconnue dans le membre de droite !

Calculons maintenant le nombre de \(x\), ce qui simplifiera beaucoup l'équation :

\[\array{5x & +\,7 & \color{red}{−\,3x} & = −\,4 \\ \;\;\;\;↘ & \, & ↙\;\;\;\; & \, \\ \, & ^{=\,2x} & \, & \, }\]

En fait nous effectuons ici l'opération \(5x − 3x\), qui nous donne le résultat \(2x\) (Souvenez-vous 5 pommes moins 3 pommes donnent bien 2 pommes restantes).

Donc, en réduisant, cela nous donne :

\[2x + 7 = -4\]

Nous voici prêt pour la deuxième étape où nous allons nous occuper des nombres.

Regrouper à droite du signe égal les termes qui ne contiennent pas l'inconnue.

Nous repartons sur l'équation que nous venons d'obtenir.

\[2x + 7 = − 4\]

Les termes qui ne contiennent pas l'inconnue sont les valeurs numériques, ce sont des nombres, donc dans notre équation : \(− 4\) (qui est déjà à droite) et \(7\) (qui ne doit pas rester à gauche).

Nous enlevons \(7\) du membre gauche de l'équation (nous faisons \(− 7\)) et donc aussi du membre droit pour respecter l'égalité.

\[2x\;\underbrace{+\,7 \color{red}{− 7}}_{=\,0} = − 4 \color{red}{− 7}\]

Ce qui nous donne l'équation :

\[2x = -11\]

Arrivé là, ce n'est pas fini, il nous faut diviser par \(2\) de chaque côté (car nous savons ce que valent 2 fois notre inconnue \(x\)).

\[\frac{2x}{\color{red}2}=\frac{-11}{\color{red}2}\]

Nous pouvons simplifier par 2 la fraction de gauche et calculer celle de droite :

\[\require{cancel}\frac{\cancel2x}{\cancel{\color{red}2}}=\frac{-11}{\color{red}2}\]

et nous obtenons

\[x = -5,5\]

L'équation \(5x + 7 = 3x − 4\) a pour solution \(x = -5,5\)

Comme nous l'avons dit, une fois qu'on l'a bien comprise, cette méthode devient un peu lourde. Pas d'inquiétude, il y a moyen de faire plus simple et plus rapide avec la méthode de transposition des termes que vous trouverez page suivante !

Mais n'oubliez pas que c'est seulement en réfléchissant soi-même qu'on apprend bien les mathématiques, donc n'hésitez pas à faire un tour sur notre page de conseils et d'exercices sur les équations du premier degré.

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