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Un peu de Géométrie !

capte-les-maths.com → Applications › Géométrie : Le Théorème de Pythagore

Le Théorème de Pythagore


Le théorème de Pythagore montre qu'il existe pour les triangles rectangles une relation entre les longueurs des côtés, en particulier le plus grand : l'hypoténuse. Il permet de trouver la longueur du troisième côté d'un triangle rectangle dont deux côtés sont de dimension connue. Et grâce à la réciproque de Pythagore nous saurons prouver qu'un triangle est bien rectangle, et à grâce à sa contraposée qu'il ne l'ait pas.

Nous n'allons pas étudier la démonstration du Théorème de Pythagore mais seulement son utilisation pratique. Notre but est de vous faire bien comprendre et mémoriser la foule de notions et de vocabulaire mathématiques qu'il rejoint. Prenez le temps de cliquer sur les mots que vous ne connaissez pas.


Sommaire de la page


Quand peut-on utiliser Pythagore ?

Un théorème est une affirmation mathématique, l'énoncé d'une propriété que l'on sait être vraie car on l'a démontrée par un raisonnement logique. Ce raisonnement s'appuie sur des hypothèses de départ, des conditions initiales qui doivent être absolument respectées. Si c'est le cas, on est sûr que le résultat est bon mais sinon on ne peut pas utiliser le théorème.

Pour avoir le droit d'utiliser le théorème de Pythagore, il existe donc une condition d'utilisation impérative !

à retenir

On ne peut utiliser le Théorème de Pythagore qu'avec un Triangle Rectangle.

Autrement dit, utiliser le théorème avec un triangle quelconque donnera un résultat faux !


Rappel sur les triangles rectangles : l'hypoténuse

Commençons donc par nous rappeler la définition d'un triangle rectangle avant de découvrir le célèbre théorème.

Le Triangle Rectangle

Nous vous présentons donc maintenant un triangle rectangle !

Un triangle rectangle : l'hypoténuse est en face de l'angle droit

Le triangle ABC représenté est rectangle en B, car \(\widehat{B}=\widehat{ABC}=90°\), c'est à dire que l'angle formé par les côtés AB et BC vaut 90°. On l'appelle un angle droit.

Nous allons nous intéresser à un segment particulier de ce triangle rectangle, le coté AC. On lui a donné un nom : l'hypoténuse

Si vous voulez mieux connaître les triangles, consultez donc nos explications sur les Triangles et la façon de les noter.

Un peu d'histoire...

Le mot hypoténuse sonne mal à nos oreilles, et vous vous demandez peut-être pourquoi employer un terme si bizarre. L'origine des mathématiques se trouve au fond des âges, c'est une capacité naturelle de l'homme. Dans la Grèce antique de grands mathématiciens (comme Pythagore ou Euclide) ont réfléchi sur les angles, les surfaces, les distances, leurs relations et la façon de les mesurer. Ils nous ont aussi laissé un peu de leur vocabulaire. On représentait souvent les angles « la pointe en haut », et on formait le triangle comme avec une corde que l'on tendait au-dessous (en grec « hupoteinousa pleura » signifie « côté se tendant sous les angles ») d'où le terme hypoténuse.

Comment repérer l'hypoténuse ?

Nous avons plusieurs moyens pour la repérer :

à retenir

  • L'hypoténuse est le côté face à l'angle droit (ici il se trouve en B), donc c'est le segment AC
  • L'hypoténuse est le côté le plus long des 3 côtés du triangle ABC
  • Le côté de l'hypoténuse n'utilise pas le nom de l'angle droit (dans l'exemple la lettre B) pour le nommer

Tous ces moyens sont bons pour repérer l'hypoténuse !

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Pour appliquer correctement le Théorème de Pythagore, il est indispensable de savoir bien repérer dans le triangle rectangle quel côté est l'hypoténuse !


Enoncé du Théorème de Pythagore

Maintenant que nous avons bien dégrossi le vocabulaire, voici enfin le théorème !

à retenir

Soit un triangle rectangle ABC rectangle en B, alors nous avons la relation : \[AC^2=AB^2+BC^2\] \(AC^2\) est l'hypoténuse au carré.

Observons bien cette équation : le point où se trouve l'angle droit \(\widehat{B}\) est présent deux fois dans le membre de droite de l'égalité.

Classiquement, on formule le théorème ainsi :

à retenir

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Nous vous expliquons dans le Lexique, ce que sont le carré et la racine carrée d'un nombre.



Utilité pratique du Théorème

Les anciens ont découvert cette relation entre les côtés d'un triangle rectangle. Elle est d'une très grande utilité pratique puisque grâce à elle nous pouvons calculer la longueur de l'hypoténuse, et plus largement de n'importe quel côté d'un triangle rectangle.

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Dans tous ces exercices de géométrie, les figures n'ont pas les dimensions réelles. Mais elles permettent de visualiser le problème posé. N'hésitez jamais à traduire un énoncé par un dessin en y reportant toutes les valeurs que vous connaissez.

Comment calculer la longueur d'un côté du triangle rectangle ?

Revenons à l'utilisation que l'on peut faire du théorème.

à retenir

Le théorème de Pythagore, permet, si on connaît la longueur de deux côtés d'un triangle rectangle, de calculer la longueur du troisième côté.

Comme d'habitude, ces mots vont s'éclairer avec un bon exemple :

Exemple d'utilisation de Pythagore

?

Soit un triangle ABC rectangle en B. Nous savons que :

  • \(AB=3\,cm\)

  • \(AC=5\,cm\)

Quel est la longueur du côté BC ?

Dans ces exercices de géométrie, le mieux est tracer la figure pour bien visualiser le problème posé :

Un triangle rectangle avec une longueur de côté inconnue

Le triangle ABC est rectangle en B, donc d'après le Théorème de Pythagore, nous avons la relation suivante entre les côtés du triangle : \[AC^2=AB^2+BC^2\]

Nous connaissons AB et AC, nous pouvons donc les remplacer dans l'équation par leurs valeurs : \[5^2=3^2+BC^2\] Ce qui nous donne : \[25=9+BC^2\] Et donc : \[\begin{align} BC^2 &=25−9 \\ &=16 \end{align}\] Soit : \[\begin{align} BC & =\sqrt{16} \\ & = 4 \end{align}\]

La longueur du côté BC est donc 4 cm.

Comme vous pouvez le constater, utiliser le théorème de Pythagore impose de connaître ce qu'est une Racine Carrée.

Vous voyez que nous n'avons fait qu'appliquer soigneusement la formule du théorème !


Réciproque du Théorème de Pythagore

La réciproque de quelque chose, c'est l'opération inverse, celle qui permet de revenir au point de départ : nous savons aller de A jusqu'à B, la réciproque sera de savoir aller de B jusqu'à A.

à retenir

Soit un triangle ABC, dont nous connaissons les longueurs des trois côtés.

  • Si l'un des trois côtés est plus grand que les autres (par exemple AC)
  • Et si l'équation : \(AC^2=AB^2+BC^2\) est vérifiée

Alors le triangle ABC est rectangle en B.

La réciproque du théorème de Pythagore est aussi un théorème qui a été démontré.



Utilité de la Réciproque du Théorème de Pythagore

La formulation de la réciproque de Pythagore peut vous sembler un peu obscure, vous aller voir qu'elle est facile à utiliser.

Comment savoir si un triangle est rectangle ?

Comprendre à quoi peut servir la réciproque du théorème est très simple en Français.

à retenir

La réciproque du Théorème de Pythagore permet de montrer qu'un triangle est rectangle.

Exemple de l'utilisation de la réciproque de Pythagore

?

Soit un triangle ABC. Nous savons que :

  • \(AB=8\,cm\)

  • \(AC=6\,cm\)

  • \(CB=10\,cm\)

Le triangle ABC est-il rectangle ? Si oui, en quel point ?

Dessinons ce triangle :

On ne sait pas si ce triangle est rectangle ou pas

Nous voyons que CB est le côté le plus grand.

Si le triangle ABC est rectangle alors l'équation \[CB^2=AB^2+AC^2\] doit être vérifiée (nous devons avoir l'égalité des deux membres).

Nous vérifions que le carré du côté le plus grand est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Nous allons donc calculer ce que vaut chaque membre de l'égalité : \[\begin{align} CB^2 &=10^2 \\ &=100 \end{align}\] Et d'autre part : \[\begin{align} AB^2 + AC^2 & =8^2+6^2 \\ & = 64 + 36 \\ & = 100 \end{align}\] Nous avons donc l'égalité des deux membres !

Puisque la relation \[CB^2=AB^2+AC^2\] est vraie, nous pouvons affirmer que le triangle ABC est rectangle en A. Et CB s'appelle donc l'hypoténuse.

Si ces opérations sur les équations ne vous sont pas familières, vous devriez étudier le fonctionnement des équations.


Contraposée du Théorème de Pythagore

Il n'est sans doute pas nécessaire, pour l'instant, que vous vous braquiez sur ce que veut dire le mot contraposée, mais en revanche le résultat pour Pythagore est à retenir impérativement !

Ce qu'est la contraposée d'une proposition se comprend sur un exemple :

  • Voici la proposition : si il fait beau alors le soleil brille

  • Sa contraposée est : si le soleil ne brille pas alors il ne fait pas beau

Pour Pythagore cela nous donne :

  • Théorème : si le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\) alors \(AC^2=AB^2+BC^2\)

  • Contraposée : si \(AC^2\neq AB^2+BC^2\) alors le triangle \(ABC\) n'est pas rectangle en \(B\)

Si vous voulez approfondir, voici une explication sommaire, car cela fait partie du domaine de la logique, et nous éloigne beaucoup trop de notre sujet.

Pour la proposition si (A) alors (B), la contraposée est si (on n'a pas B) alors (on n'a pas A)

Dans notre super exemple :

  • A = il fait beau
  • B = le soleil brille

Ecrivons la négation de A et de B

  • on n'a pas A = on n'a pas il fait beau
  • on n'a pas B = on n'a pas le soleil brille

Ce qui traduit en français nous donne la proposition contraposée.

Notez que si la proposition est vraie alors sa contraposée est vraie aussi, mais la réciproque est peut être fausse.

Allez on le répète : ne vous prenez pas la tête avec le mot contraposée mais retenez le résultat pour le théorème de Pythagore :

à retenir

Soit un triangle ABC, dont nous connaissons les longueurs des trois côtés,
Si \(AC\) est le côté le plus grand et \(AC^2\neq AB^2+BC^2\) alors le triangle \(ABC\) n'est pas rectangle en \(B\)


Utilité de la Contraposée du Théorème de Pythagore

La contraposée du Théorème de Pythagore est simple à comprendre comme à utiliser.

Comment savoir si un triangle n'est pas rectangle ?

à retenir

La contraposée du Théorème de Pythagore permet de montrer qu'un triangle n'est pas rectangle.

On peut dire aussi que : si la relation de Pythagore (entre la longueur des côtés d'un triangle) n'est pas vérifiée, on a le droit d'affirmer que ce triangle n'est pas rectangle.


Une illustration de Pythagore

Quand Pythagore a travaillé sur la mesure des côtés du triangle rectangle, l'expression carré était pour lui quelque chose de tout à fait concret. Car quand on emploie le mot carré, ce n'est pas seulement une façon de parler : la surface d'un carré est égale à son côté multiplié par son côté, c'est à dire à son côté puissance 2. Nous disons maintenant à son côté au carré.
Ce que Pythagore a remarqué (et les Babyloniens avant lui) c'est que la surface du carré qui a pour côté l'hypoténuse est égale à l'addition des surfaces des carrés construits à partir des deux autres côtés.
Vous le visualiserez bien dans cette petite animation qui illustre le fonctionnement du théorème de Pythagore (ça rame parfois, mais ça vaut la peine d'insister).



Pour comprendre à fond Pythagore, rien ne remplace les exercices !

Voici une série d'exercices d'application de l'égalité. Quand vous les aurez tous bien travaillés, Pythagore n'aura plus aucun secret pour vous !

Sélectionnez un exercice !

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