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cours sur les polynômes

capte-les-maths.com

Les PolynômesSecond degré

Forme canonique générale d'un polynôme de degré deux et rôle du discriminant

D'où proviennent les formes canonique ou factorisée que peut prendre un polynôme du second degré ? Pourquoi le discriminant a-t-il un rôle si important dans la recherche des racines ? Nous allons trouver, par le calcul algébrique, la forme canonique générale d'un polynôme de degré deux, et en même temps vous donner une méthode efficace pour trouver cette forme, quelque soit le cas pratique. Et vous comprendrez comment on a réussi à déterminer les solutions d'une équation du second degré.

Pour manipuler les polynômes et résoudre des équations du second degré, nous vous avons fourni tous les outils dans nos pages de cours et d'exercices. Il fallait apprendre, appliquer et retenir des formules et des méthodes. Mais nous n'avons pas expliqué d'où ces techniques provenaient. Voilà donc l'objet de cette page qui présente tous les approfondissements indispensables dans les options scientifiques des lycées.

Il s'agit donc d'une page de calculs un peu théoriques. Si vous avez « seulement » besoin du signe d'un polynôme du second degré ou de résoudre l'équation associée, ne gaspillez pas votre temps avec ces calculs. On peut vivre sans... Cliquez sur les liens que nous vous proposons. Mais ces formules permettent de regarder et comprendre ce qui se passe derrière le rideau...


Sommaire de la page


Comment trouver la forme canonique générale d'un polynôme du second degré ?

Nous allons vous montrer ici la méthode dans le cas général. Analysez la pas à pas, et vous constaterez qu'elle est facile à comprendre et à réutiliser avec n'importe quel exemple concret.

Pour déterminer la forme canonique, nous partirons de la forme générale, c'est à dire développée réduite et ordonnée du trinôme.

à retenir

Soit une fonction polynôme du second degré \(P(x)=ax^2+ bx+c\) avec \(a\neq0\)

Pour trouver sa forme canonique, nous ferons apparaître la première partie d'une identité remarquable.

Nous avons illustré cette technique dans notre étude des identités remarquables du second degré que nous vous conseillons de lire attentivement.


Tout d'abord nous devons faire apparaître un terme en \(x^2\) seul.

Pour cela, nous mettons en facteur le coefficient du monôme \(ax^2\) : \[\begin{align}P(x)&=ax^2+bx+c\\[1.5ex]&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)\end{align}\]

Nous pouvons diviser par \(a\) parce qu'il est non nul.


Le début de la somme remarquable est constitué par les monômes qui contiennent \(x\), c'est à dire \(x^2+\displaystyle{\frac{b}{a}}x\).

La méthode est de faire apparaître une identité remarquable. Nous en connaissons trois, et la plus proche est celle-ci : \[A^2+2AB+B^2=(A+B)^2\]

Posons \(A=x\) et le produit remarquable devient alors \((x+B)^2\)

Comment trouver \(B\) ? Le plus simple est d'appliquer la règle suivante :

Le terme \(B\) présent dans le produit remarquable \((x+B)^2\) est égal au coefficient du monôme de degré un (le terme en \(x\) du polynôme) multiplié par \(1/2\)

Utilisons cette astuce avec le coefficient du monôme en \(x\) : \[\begin{align}B&=\frac{b}{a}\times\frac{1}{2}\\[1.5ex]&=\frac{b}{2a}\end{align}\] Notre forme remarquable devient : \[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\]


Développons ce carré en utilisant l'identité remarquable :

\[\begin{align} \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 &=x^2+2\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2\\[1.5ex] &=\color{red}{x^2+\frac{b}{a}x}+\frac{b^2}{4a^2} \end{align}\]

Nous constatons que nous ne pouvons pas utiliser directement ce développement, car nous avons un terme en trop. La partie utile de l'expression est notée en rouge, c'est celle que nous avons fait apparaître dans la première étape de notre démonstration et dont nous avons besoin : \[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\color{red}{x^2+\frac{b}{a}x}+\frac{b^2}{4a^2}\\[1.5ex] \iff\\[1.5ex] \color{red}{x^2+\frac{b}{a}x}=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}\\[1.5ex]\]


Maintenant remplaçons simplement l'expression dans le polynôme de départ :

\(\begin{align} P(x) &=a\left(\color{red}{x^2+\frac{b}{a}x}+\frac{c}{a}\;\right)\\[1.5ex] &=a\left(\color{red}{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}}+\frac{c}{a}\;\right)\\[1.5ex] &=a\left(\;\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}\;+\frac{4a\times c}{4a\times a}\;\right)\\[1.5ex] &=a\left(\;\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right) \end{align}\)


Nous notons avec plaisir l'apparition de notre vieil ami le discriminant : \[\Delta= b^2 - 4ac\]


Mais surtout, et ce n'est pas évident à remarquer immédiatement, nous voilà avec une superbe forme canonique ! Rappelons nous la définition générale qui affirme qu'un polynôme du second degré sous la forme canonique s'écrit : \[P(x)=a(x-p)^2+q\]

Nous voyons que dans notre formule, il faut prendre \(p=-\displaystyle{\frac{b}{2a}}\) et \(q=-\displaystyle{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\)

Nous obtenons alors l'écriture de la forme canonique de tout polynôme du second degré.

à retenir

Soit un polynôme du second degré \(P(x)=ax^2 + bx + c \) avec \(a\neq 0\)
On peut écrire \(P\) sous la forme

\[P(x)=a\left[\left(x+\displaystyle{\frac{b}{2a}}\right)^2-\displaystyle{\frac{\Delta}{4a^2}}\right]\] où \(\Delta= b^2 - 4ac\)

Cette écriture est appelée forme canonique du trinôme du second degré.

L'intérêt de cette démonstration est bien sûr d'avoir déterminé la forme canonique de tous les polynômes de degré 2, mais il se trouve surtout dans dans la méthode elle-même que vous pourrez utiliser sans soucis dans tous les cas.


Rôle du discriminant et forme factorisée

Cette forme canonique a l'aspect malgré tout peu engageant, est dotée de propriétés très étonnantes. Elle va nous permettre - comme ça - de déterminer la forme générale des racines du polynôme \(P(x)\), c'est à dire les solutions de l'équation \(P(x)=0\).

Nous avons trouvé la forme canonique générale d'un polynôme du second degré. Ce qui est surprenant et fascinant, c'est qu'au lieu d'avoir gratuitement tout compliqué - comme on le dirait pourtant - nous nous sommes au contraire approchés tout près de propriétés fondamentales qui permettront de résoudre les équations du second degré. Regardons pourquoi :

Nous nous intéressons à l'expression entre crochets.

  • Le premier terme est un carré, il est donc positif.

  • Le dénominateur du deuxième terme est un carré, il est donc positif

Le seul élément dont le signe est inconnu est le discriminant Delta, c'est de lui que tout dépend maintenant !

Nous allons discriminer, c'est à dire distinguer, trois cas selon le signe de Delta ! Voilà la force de la forme canonique que nous avons trouvée.

Rappelons-nous que nous ne travaillons ici qu'avec des nombres réels.

Le discriminant Delta est strictement positif

Si \(\Delta\gt0\) alors \(\displaystyle{\frac{\Delta}{4a^2}\gt0}\), puisque \(4a^2\gt0\)

Nous pouvons alors considérer que l'expression \[\left(x+\displaystyle{\frac{b}{2a}}\right)^2-\displaystyle{\frac{\Delta}{4a^2}}\] est la différence de deux carrés ! Cela revient à considérer que \(\Delta\) est un carré. Alors nous avons le droit d'en calculer la racine carrée.

Maintenant, pourquoi se réjouir d'avoir une différence de deux carrés ? Bien sûr parce qu'il existe une identité remarquable : \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) !

Dans notre formule, il faudra donc poser que : \(A=x+\displaystyle{\frac{b}{2a}}\)

Et comme \(B^2=\displaystyle{\frac{\Delta}{(2a)^2}}\) alors \(B=\displaystyle{\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}}\)

Il nous reste maintenant à appliquer la formule :

\(\begin{align} P(x) &=a\left[\left(x+\displaystyle{\frac{b}{2a}}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\right]\\[2ex] &=a\left(x+\frac{b}{2a}- \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\frac{b}{2a}+ \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\\[2ex] &=a\left(x+\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \end{align}\)

Et soudain, que voyons nous apparaître : la forme factorisée du polynôme !

Cherchons les racines de ce polynôme. Nous savons que pour qu'un produit de facteurs s'annule, il faut que l'un ou l'autre des facteurs soit nul. \(a\) est non nul par définition, donc seuls les deux autres facteurs peuvent être égaux à zéro, ce qui nous donne deux petites équations du premier degré :

\[x+\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}=0\]

\[x+\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}=0\]

Leur résolution ne pose pas de problème, et nous obtenons deux solutions possibles que nous baptisons (quelle surprise !) \(x_1\) et \(x_2\) :

\[x_1=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\]

\[x_2=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\]

à retenir

Sacré bilan ! Nous avons établi que si son discriminant est strictement positif, une fonction polynôme du second degré \(P(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a\neq0\) peut se mettre sous la forme factorisée : \[P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\] où \(x_1\) et \(x_2\), ses deux racines, ont le format : \[x_1=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\] \[x_2=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\]


Il existe une autre démontration, moins élégante, qui fait appel à un résultat appris en classe de troisième.

Elle revient à considérer que pour que \(P\) s'annule, l'expression entre crochets doit être égale à zéro. Ainsi on est ramené à une équation de la fome \(y^2=k\) où \(k\) est positif. Nous avons réglé ce cas dans notre étude des racines carrées.

Ici cela nous donne : \[\left(x+\displaystyle{\frac{b}{2a}}\right)^2-\displaystyle{\frac{\Delta}{4a^2}}=0\\[3ex] \iff\\[1.5ex] \left(x+\displaystyle{\frac{b}{2a}}\right)^2=\displaystyle{\frac{\Delta}{4a^2}} \]

Nous obtenons donc deux équations :

\[x+\displaystyle{\frac{b}{2a}}=\displaystyle{\sqrt\frac{\Delta}{4a^2}} \]

\[x+\displaystyle{\frac{b}{2a}}=-\displaystyle{\sqrt\frac{\Delta}{4a^2}} \]

Il reste à effectuer les calculs pour trouver les racines du polynôme.

Le discriminant Delta est nul

Nous reprenons la forme canonique générale.

Si \(\Delta=0\) alors le terme \(\displaystyle{\frac{\Delta}{4a^2}}\) disparaît.

Le polynôme s'écrit alors : \[P(x)=a\left(x+\displaystyle{\frac{b}{2a}}\right)^2\]

Cherchons les racines de \(P(x)\).

Nous savons que \(a\) est non nul. La seule possibilité pour que le polynôme s'annule est que l'autre facteur soit égal à zéro, ce qui veut dire que la solution est : \[x=\displaystyle{\frac{-b}{2a}}\]

Dans ce cas aussi, nous avons retrouvé un résultat important du cours !

à retenir

Si son discriminant est nul, une fonction polynôme du second degré \(P(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a\neq0\) peut se mettre sous la forme factorisée : \[P(x)=a(x-x_1)^2\] où \(x_1\), sa racine, a le format : \[x_1=\frac{-b}{2a}\]

Le discriminant Delta est strictement négatif

Repartons de l'expression entre crochets présente dans la forme canonique générale : \[\left(x+\displaystyle{\frac{b}{2a}}\right)^2-\displaystyle{\frac{\Delta}{4a^2}}\]

Si \(\Delta\lt0\) alors l'expression \(\displaystyle{\frac{\Delta}{4a^2}}\) est négative puisque son signe ne dépend que de Delta.

Mais alors, cela veut dire aussi que \(-\displaystyle{\frac{\Delta}{4a^2}}\) est positive (moins par moins = plus).

Un carré est toujours positif. Donc l'expression entre crochets, dans ce cas, est la somme de deux nombres positifs, et nous somme sûrs que le deuxième n'est jamais nul (puisque \(\Delta\neq0\)) donc \(P(x)\) est formé du produit d'un nombre non nul \(a\) et d'un facteur positif strictement. Le polynôme ne peut jamais s'annuler.

à retenir

Si son discriminant est négatif, une fonction polynôme du second degré \(P(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a\neq0\) ne peut pas se mettre sous une forme factorisée car elle ne peut jamais s'annuler. L'équation \(P(x)=0\) n'a pas de racine dans l'ensemble des nombres réels.

Le discriminant est une des merveilles des mathématiques et de l'esprit humain : ça n'était pas si évident de créer une forme dotée d'un rôle si simple et si important !


Forme canonique générale simplifiée

Nous allons maintenant justifier une autre expression de la forme canonique générale d'un polynôme du second degré. Cette forme sert dans l'étude des paraboles.

Cette forme, la plus connue, est celle que l'on retient ! Mais les manipulations de calcul algébrique ne sont pas à connaître par coeur bien sûr !


Pour vous expliquer, par la fin en quelque sorte, le but de la démonstration, souvenons-vous de la formule :

\(P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta \;\;\;\;\small{\mathbf{avec}} \;\normalsize \begin{cases}\alpha=\displaystyle{\frac{-b}{2a}}\\[2ex] \beta=P(\alpha) \end{cases}\)

\(\displaystyle{P\left(\frac{-b}{2a}\right)}\) correspond donc au deuxième terme de la différence multiplié par \(a\) et nous allons le faire apparaître sous sa forme développée.


Nous repartons donc la forme canonique générale \[P(x)=a\left[\left(x+\displaystyle{\frac{b}{2a}}\right)^2 - \displaystyle{\frac{\Delta}{4a^2}}\right]\]

Nous distribuons \(a\) et nous intéressons au deuxième terme de la différence :

\(\begin{align} -a\frac{\Delta}{4a^2} &=-a\left(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\\[2ex] &=\frac{\color{red}{-ab^2}+4a^2c}{4a^2}\\[2ex] &=\frac{\color{red}{ab^2-2ab^2}+4a^2c}{4a^2}\\[2ex] &=\frac{ab^2}{4a^2}-\frac{2ab^2}{4a^2}+\frac{4a^2c}{4a^2}\\[2ex] &=a\left(\frac{-b}{2a}\right)^2+b\left(\frac{-b}{2a}\right)+c \end{align}\)

Nous avons coloré en rouge la petite astuce de calcul qui permet d'arriver au résultat souhaité.


Un peu tiré par les cheveux sans doute, mais ça marche ! Nous avons obtenu la forme développée réduite et ordonnée du polynôme de départ : \(P\left(\displaystyle\frac{-b}{2a}\right)\)

Remplaçons tout cela dans la formule générale en faisant apparaître aussi \(\displaystyle\frac{-b}{2a}\) dans le premier terme :

\(\begin{align} P(x) &=a\left(x-\frac{-b}{2a}\right)^2+a\left(\frac{-b}{2a}\right)^2+b\left(\frac{-b}{2a}\right)+c\\[2ex] &=a\left(x-\frac{-b}{2a}\right)^2+P\left(\displaystyle\frac{-b}{2a}\right) \end{align}\)

Et à ce moment là si nous posons \[\alpha=\displaystyle{\frac{-b}{2a}}\] nous pouvons dire que :

à retenir

Un polynôme du second degré sous la forme canonique générale simplifiée s'écrit :

\[P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\]

avec \(\qquad\normalsize \begin{cases}\alpha=\displaystyle{\frac{-b}{2a}}\\[2ex] \beta=P(\alpha) \end{cases}\qquad\) et \(\qquad a\neq 0\)


Résumé et conclusions : comment passer d'une forme à une autre

La méthode que nous avons suivie

Au commencement nous ne disposions que de la définition d'une fonction polynôme \(P\) de degré 2 sous sa forme développée réduite et ordonnée. \(P(x)=ax^2+ bx+c\) avec \(a\neq0\)

Par le calcul algébrique et l'utilisation des identités remarquables du second degré, nous avons démontré plusieurs résultats importants utilisés dans les cours de capte-les-maths.com.

Egalité des formes

Nous avons montré que toutes les formes d'un polynôme sont égales et que quand on connaît l'une on peut retrouver les autres.

Tout polynôme de degré 2 a une forme canonique

Il existe une forme canonique pour tous les polynômes du second degré.

Cette forme canonique se présente soit sous une forme générale soit sous une forme simplifiée mais ces deux formes sont égales :

\[a\left[\left(x+\displaystyle{\frac{b}{2a}}\right)^2- \displaystyle{\frac{\Delta}{4a^2}}\right]=a(x-\alpha)^2+\beta\] avec \(\quad\normalsize{\Delta= b^2-4ac}\quad\) et \(\quad\normalsize \begin{cases}\alpha=\displaystyle{\frac{-b}{2a}}\\[2ex] \beta=P(\alpha) \end{cases}\)

Vous trouverez des écritures où \(\alpha\) et \(\beta\) sont remplacés par deux réels quelconques, souvent nommés \(p\) et \(q\).

Passage de la forme développée à la factorisée

Nous connaissons maintenant les règles de factorisation du trinôme par l'utilisation du discriminant.

Le rôle du discriminant est d'indiquer si le polynôme peut-être factorisé et sous quelle forme, et donc s'il a ou non des racines réelles.

  • Si \(\Delta\gt0\) alors le polynôme a deux racines et peut se factoriser.

  • Si \(\Delta=0\) alors le polynôme a une racine (dite double) et peut se factoriser.

  • Si \(\Delta\lt0\) alors le polynôme n'a pas de racine dans \(\mathbb R\) et ne peut pas se factoriser.


On peut dire que tout polynôme dont le discriminant est supérieur ou égal à zéro peut s'écrire sous la forme factorisée : \[P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\] Dans le cas où Delta est nul, les racines \(x_1\) et \(x_2\) sont égales.

Donc ne jamais oublier que les polynômes de degré 2 qui n'ont pas de racines réelles ne sont pas factorisables.


Discriminer ces cas, trouver pour quelles valeurs la fonction polynôme \(P\) s'annule ou pas, calculer les solutions... revient à résoudre l'équation \(P(x)=0\)

Mais n'oubliez pas de vérifier d'abord si le polynôme ne pourrait pas se transformer simplement avec une identité remarquable, sans calcul de Delta.


Connaître la forme factorisée c'est connaître les racines du polynôme et connaître ses racines, c'est savoir factoriser le polynôme.

Passage de la forme canonique à la développée

Si l'on se trouve en présence d'une forme canonique, pour trouver la forme développée, il faudra développer l'expression.

Passage de la forme factorisée à la développée

Pour trouver la forme développée à partir de la forme factorisée, il faut effectuer les calculs, réduire l'expression.

Passage de la forme développée à la canonique

Pour effectuer le passage de la forme développée à la forme canonique, il faut appliquer la méthode que nous vous avons détaillée à base d'égalités remarquables.

Passage de la forme factorisée à la canonique

Le passage de la forme factorisée à la forme canonique est plus délicat à mettre en oeuvre. Le plus sûr sans doute est de revenir d'abord à la forme développée puis d'utiliser la forme canonique simplifiée.


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Les auteurs

Passionnés par la transmission et la mise à la portée des Maths, en particulier à ceux qui ne se croient pas capables de les comprendre.

Arielle Bresson : Professeur certifié de Mathématiques, enseigne au Lycée Technique et Hôtelier de Monaco, membre du Bureau de l'Association Monaco Mathématiques, chevalier des Palmes Académiques.

Maurice Bresson : Créateur/concepteur/rédacteur de capte-les-maths, diplômé de MIAGE, ancien responsable du service informatique d'une usine du groupe l'Oréal, ancien gestionnaire et administrateur d'une enseigne de prêt-à-porter.

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