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cours sur les polynômes

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Les PolynômesSecond degré

Signe d'un Polynôme du Second Degré

Que faut-il pour déterminer le signe d'un polynôme du second degré ? Pas de secret, voici le plus important : bien comprendre la méthode que nous vous expliquons en détail (établir un tableau de signes), bien se plonger dans les exemples concrets... Sans panique... Nous allons étudier le signe du discriminant et celui du coefficient dominant « \(a\) ». Et sans surprise, nous allons découvrir que le signe du polynôme de degré 2 dépend de celui de son coefficient « \(a\) ».

L'expression signe d'un polynôme peut sembler étrange ! Elle est un peu rapide et simplificatrice.

Déterminer le signe d'un polynôme demande le plus souvent de savoir résoudre une équation du second degré, mais pas de soucis, tout est prévu dans la page pour que ça puisse attendre. Pour l'importance du coefficient \(a\), celui du monôme de plus haut degré, relisez la page sur les polynômes.


Sommaire de la page


Que de lettres ! Que de lettres partout ! A un moment vous vous sentirez peut-être submergés ! Pas de panique, capte-les-maths.com veille sur vous ! Vous trouverez après chaque cas théorique (mais indispensable) un exemple d'application pratique. Et ça passera !


Comment déterminer le signe d'un polynôme du second degré ?

Pour déterminer le signe d'un polynôme du second degré : \[\boxed{P(x)=ax^2 + bx + c \;\;\;\;\small{\mathbf{avec}}\normalsize\;a\neq 0}\] nous allons utiliser sa forme factorisée, si elle existe bien sûr ! Et nous savons que cela dépend de la valeur de son discriminant : \[\boxed{\Delta= b^2 - 4ac}\] C'est lui qui nous indiquera comment procéder et nous conduira vers la règle à appliquer.

Si les mots polynôme, second degré, discriminant, forme factorisée... ne vous disent pas grand chose, jetez d'abord un coup d'oeil à ce qu'il faut savoir sur les polynômes du second degré.


Signe d'un produit : quelques rappels utiles !

Nous utilisons la forme factorisée car elle va nous permettre d'utiliser les propriétés sur le signe d'un produit de facteurs (la multiplication de plusieurs termes). Nous allons rapidement expliciter tout cela au cas où l'oubli aurait fait des ravages...

  1. Tout d'abord rappelez-vous ce que veulent dire les mots facteurs ou produit.


  2. Le signe résultat dépend du signe de chacun des facteurs de la multiplication.


  3. Rappelons-nous aussi comment on détermine le signe d'un produit de deux nombres, ce que l'on appelle aussi la règle des signes pour la multiplication ou la division. On peut la formuler de différentes façons :

    • moins par moins et plus par plus donnent plus

    • plus par moins et moins par plus donnent moins

    ou encore

    • si deux nombres ont le même signe alors leur produit est positif

    • si deux nombres ont des signes différents alors leur produit est négatif

    Produit positif (ou négatif) veut dire que le résultat de la multiplication est positif (ou négatif).

    ou encore sous forme de tableau

    Signe du Produit
    \(\times\) \(-\) \(+\)
    \(-\) \(+\) \(-\)
    \(+\) \(-\) \(+\)

Signe d'un polynôme quand le discriminant est strictement positif

Maintenant nous avons les outils de base pour déterminer le signe de notre trinôme.

Nous l'avons vu dans la page sur les polynômes du second degré, si le discriminant est strictement positif alors le polynôme peut prendre la forme factorisée : \[P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\]

Nous avons donc trois facteurs - le coefficient \(a\) et les deux polynômes du premier degré \((x-x_1)\) et \((x-x_2)\) - multipliés pour former \(P(x)\).

à retenir

La méthode pour déterminer le signe d'un polynôme du second degré est d'utiliser un Tableau de Signes.

Un Tableau de Signes est un tableau où l'on inscrira pour chaque facteur, le signe qu'il prend selon la valeur de la variable, ici \(x\).

Pour trouver le signe de \(P(x)\), nous allons donc :

  1. Déterminer le signe de chacun des facteurs qui le composent

  2. Reporter ces valeurs dans un Tableau de Signes

  3. Appliquer la règle des signes pour un produit

Et tant qu'à parler de signe, faites nous en un sur notre page Facebook !


Nous allons détailler chaque étape de la méthode, car il est indispensable de savoir l'appliquer !

Le premier facteur est \(a\). Il n'est pas nul par définition d'un polynôme du second degré, donc :

\(a\) est forcément soit positif, soit négatif.

Etudions séparément les deux cas possibles.

Premier cas : « a » strictement positif

Nous sommes dans le cas où : \(\Delta\gt 0\) et \(a\gt 0\), \(P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) avec \(x_1< x_2\)

Déterminons quel est le signe des facteurs \((x-x_1)\) et \((x-x_2)\) selon la valeur de \(x\).

Nous avons affaire ici à deux polynômes de degré un. Nous avons étudié comment trouver leur signe dans la page signe d'un polynôme du premier degré.

Etude du signe de \((x-x_1)\)

\(x-x_1=0\) pour \(x=x_1\)
\(x-x_1\gt 0\) (positif) pour \(x\gt x_1\)
\(x-x_1\lt0\) (négatif) pour \(x\lt x_1\)

Etude du signe de \((x-x_2)\)

\(x-x_2=0\) pour \(x=x_2\)
\(x-x_2\gt 0\) (positif) pour \(x\gt x_2\)
\(x-x_2\lt0\) (négatif) pour \(x\lt x_2\)

Reportons nos résultats dans un tableau, que nous appellerons donc Tableau de Signes.


Tableau de Signes dans le cas où \(\Delta\gt 0\) et \(a\gt 0\)
\(x\) \(-\infty\) \(x_1\) \(x_2\) \(+\infty\)
\(x-x_1\;\) \(-\) \(0\) \(+\) \(+\)
\(x-x_2\;\) \(-\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(a\) \(+\) \(+\) \(+\)
Signe de \(P(x)\) \(+\) \(0\) \(-\) \(0\) \(+\)
Signe de \(a\) Signe contraire de \(a\) Signe de \(a\)

Pour bien lire et savoir refaire ce Tableau de Signes, nous allons commenter sa construction :

  • La première ligne

    Elle contient les valeurs que peut prendre la variable \(x\) dans l'ensemble des nombres réels, et les deux valeurs remarquables \(x_1\) et \(x_2\). Nous savons que quand la variable prend une de ces valeurs, alors le polynôme \(P(x)\) s'annule. Ce sont en fait les racines de l'équation \(P(x)=0\).

    Les deux racines sont différentes, donc l'une est forcément plus petite que l'autre. Nous supposons ici que \(x_1\lt x_2\).

  • Deuxième, troisième et quatrième ligne

    Nous avons une ligne pour chaque facteur composant le polynôme. Nous notons, dans chaque intervalle de valeur de \(x\), le signe que prend le facteur (comme trouvé plus haut).

    Par exemple, le facteur \((x-x_2)\) est négatif pour les valeurs de \(x\) appartenant à l'intervalle \(\mathopen{]}-\infty;x_2\mathclose{[}\).

  • Une ligne résultat

    Nous trouvons là le signe de \(P(x)\) selon la valeur de \(x\). Pour cela nous appliquons dans chaque colonne la règle des signes pour la multiplication.

    Signe de \(P(x) =\) Signe de \((x-x_1)\times\) Signe de \((x-x_2)\times\) Signe de \(a\)

    Par exemple pour la première colonne : les deux premiers facteurs sont négatifs, donc leur produit est positif. Ce produit multiplié par \(a\), qui est lui-même positif, sera positif.

    Et nous avons procédé avec la même méthode dans les autres colonnes du tableau.

  • Une ligne de conclusion

    Nous avons ajouté une ligne de commentaire qui permet de remarquer ce qui se passe vraiment :

    Pour \(\Delta\gt 0\) et \(a\gt 0\), le signe du polynôme de degré 2 dépend du signe de \(a\) !

Appliquer la méthode sur un exemple concret

?

Prenons le polynôme \[P(x)=0,1x^2-0,5x-0,6\] Construisez le tableau de signes.

Nous repérons tout de suite le coefficient \(a=0,1\). Il est strictement positif.

Le discriminant de \(P(x)\) vaut : \[\begin{align}\Delta &=b^2-4ac \\ &=(-0,5)^2-4\times0,1\times(-0,6) \\ &=0,49 \end{align}\]

Le discriminant est strictement positif, le polynôme a donc deux racines : \(x_1=6\) et \(x_2=-1\).

Pour retrouver comment on calcule ces racines, filez voir comment on résout une équation du second degré.

Comme nous l'avons dit au début des explications, un discriminant positif veut dire que nous pouvons factoriser le trinôme sous la forme d'un produit de facteurs : \[P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\]

Ce qui donne pour notre exemple :

\[\begin{align}P(x) &=0,1(x-6)(x-(-1))\\ &=0,1(x-6)(x+1) \end{align}\]

Nous appliquons strictement la méthode : déterminer le signe de chaque polynôme du premier degré, récapituler les résultats dans un tableau de signes, puis appliquer la règle des signes pour la multiplication.

Etude du signe de \((x-6)\)

\(x-6=0\) pour \(x=6\)
\(x-6\gt 0\) (positif) pour \(x\gt 6\)
\(x-6\lt0\) (négatif) pour \(x\lt 6\)

Etude du signe de \((x+1)\)

\(x+1=0\) pour \(x=-1\)
\(x+1\gt 0\) (positif) pour \(x\gt -1\)
\(x+1\lt0\) (négatif) pour \(x\lt -1\)

Reportons le signe des trois facteurs qui composent \(P(x)\) dans le tableau de signes, c'est à dire le signe de \((x-6)\), le signe de \((x+1)\) et le signe de \(0,1\) qui est évidemment positif.


Tableau de Signes pour \(P(x)=0,1(x-6)(x+1)\)
\(x\) \(-\infty\) \(-1\) \(6\) \(+\infty\)
\(x-6\;\) \(-\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(x+1\;\) \(-\) \(0\) \(+\) \(+\)
\(0,1\) \(+\) \(+\) \(+\)
Signe de \(P(x)\) \(+\) \(0\) \(-\) \(0\) \(+\)
\((-)\times(+)\times(+)\)

Quelques points pour comprendre la construction du tableau

  • La première ligne

    Faire bien attention de ranger les racines \(-1\) et \(6\) dans l'ordre croissant.

  • Deuxième ligne

    Dans cette ligne, nous récapitulons les valeurs du signe de \((x-6)\) selon l'intervalle :

    • Tout d'abord, l'expression s'annule pour \(x=6\)

    • Le signe est positif pour toute valeur de \(x\) supérieure à \(6\), donc nous mettons un \(+\) dans l'intervalle \(\mathopen{]}6;+\infty\mathclose{[}\)

    • Le signe est négatif pour toute valeur de \(x\) inférieure à \(6\), donc nous mettons un \(-\) dans l'intervalle correspondant.

  • La cinquième ligne

    Le signe de \(P(x)\) s'obtient en appliquant à chaque colonne du tableau la règle des signes pour un produit.

    • \((-)\times(-)\times(+)\) donne \(+\)

    • \((-)\times(+)\times(+)\) donne \(-\)

    • \((+)\times(+)\times(+)\) donne \(+\)

Nous pouvons résumer tout le processus dans un tableau plus réduit :


Tableau de Signes pour \(P(x)=0,1(x-6)(x+1)\)
(\(\Delta\gt 0\) et \(a\gt 0\))
\(x\) \(-\infty\) \(-1\) \(6\) \(+\infty\)
Signe de \(P(x)\) \(+\) \(0\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(a=0,1\) Signe de \(a\) \(0\) Signe contraire de \(a\) \(0\) Signe de \(a\)

Avec l'habitude, vous pourrez vous limiter à ce tableau réduit, en tâchant de retenir la règle :

  • \(P(x)\) est du signe contraire de \(a\), pour toutes les valeurs de \(x\) comprises entre les deux racines \(x_1=6\) et \(x_2=-1\)

  • \(P(x)\) est du signe de \(a\), pour toutes les autres valeurs de \(x\), en dehors des racines

Deuxième cas : « a » strictement négatif

Nous sommes dans le cas où : \(\Delta\gt 0\) et \(a\lt0\), \(P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) avec \(x_1< x_2\)

Dans ce cas aussi nous devons déterminer le signe des facteurs \((x-x_1)\) et \((x-x_2)\) selon la valeur de \(x\). Nous avons déjà fait ce travail plus haut, mais rappelons-le :

Etude du signe de \((x-x_1)\)

\(x-x_1=0\) pour \(x=x_1\)
\(x-x_1\gt 0\) (positif) pour \(x\gt x_1\)
\(x-x_1\lt0\) (négatif) pour \(x\lt x_1\)

Etude du signe de \((x-x_2)\)

\(x-x_2=0\) pour \(x=x_2\)
\(x-x_2\gt 0\) (positif) pour \(x\gt x_2\)
\(x-x_2\lt0\) (négatif) pour \(x\lt x_2\)

Le résultat est bien sûr exactement le même que dans le premier cas. La seule différence dans notre recherche du signe du polynôme est le signe de \(a\).

Construisons le Tableau de Signes pour voir ce qui se passe dans ce cas :


Tableau de Signes dans le cas où \(\Delta\gt 0\) et \(a\lt0\)
\(x\) \(-\infty\) \(x_1\) \(x_2\) \(+\infty\)
\(x-x_1\;\) \(-\) \(0\) \(+\) \(+\)
\(x-x_2\;\) \(-\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(a\) \(-\) \(-\) \(-\)
Signe de \(P(x)\) \(-\) \(0\) \(+\) \(0\) \(-\)
Signe de \(a\) Signe contraire de \(a\) Signe de \(a\)

La façon d'établir le tableau est la même que dans le premier cas, et les trois premières lignes sont semblables.

  • Quatrième ligne

    Là se situe la première différence, \(a\) est négatif.

  • La ligne de résultat

    Toujours en appliquant la règle des signes pour la multiplication, nous y reportons le signe de \(P(x)\) selon la valeur de \(x\).

    Signe de \(P(x) =\) Signe de \((x-x_1)\times\) Signe de \((x-x_2)\times\) Signe de \(a\)

    Par exemple pour la première colonne : les deux premiers facteurs sont négatifs, donc leur produit est positif. Mais ce produit multiplié par \(a\), qui est lui-même négatif, sera négatif.

    Et nous appliquons la même méthode pour les autres intervalles de valeurs.

  • La ligne de conclusion

    Nous constatons encore ce qui détermine vraiment le signe du trinôme :

    Pour \(\Delta\gt 0\) et \(a\lt0\), le signe du polynôme de degré 2 dépend du signe de \(a\) !

Appliquer la méthode sur un exemple concret

Voici notre deuxième exemple, la méthode est strictement identique, nous allons commencer à doucement accélérer.

?

Voici le polynôme : \[Q(x)=-2x^2+x+10\] Etudions son signe !

Le coefficient \(a=-2\) est strictement négatif.

Le discriminant de \(Q(x)\) vaut \(\Delta=81\). Il est strictement positif.

Le polynôme a donc deux racines : \(x_1=-2\) et \(x_2=2,5\) et se factorise sous la forme : \(Q(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)

Et nous obtenons pour notre cas concret :

\[\begin{align}Q(x) &=-2(x-(-2))(x-2,5)\\ &=-2(x+2)(x-2,5) \end{align}\]

Cherchons quel est le signe des facteurs en \(x\) :

Etude du signe de \((x+2)\)

\(x+2=0\) pour \(x=-2\)
\(x+2\gt 0\) pour \(x\gt -2\)
\(x+2\lt0\) pour \(x\lt -2\)

Etude du signe de \((x-2,5)\)

\(x-2,5=0\) pour \(x=2,5\)
\(x-2,5\gt 0\) pour \(x\gt 2,5\)
\(x-2,5\lt0\) pour \(x\lt 2,5\)

Reportons le signe des trois facteurs qui composent \(Q(x)\) dans le tableau de signes :


Tableau de Signes pour \(Q(x)=-2(x+2)(x-2,5)\)
\(x\) \(-\infty\) \(-2\) \(2,5\) \(+\infty\)
\(x-2\;\) \(-\) \(0\) \(+\) \(+\)
\(x-2,5\;\) \(-\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(a=-2\) \(-\) \(-\) \(-\)
Signe de \(Q(x)\) \(-\) \(0\) \(+\) \(0\) \(-\)

Cela nous permet d'établir un tableau résumé :


Tableau de Signes pour \(Q(x)=-2(x+2)(x-2,5)\)
(\(\Delta\gt 0\) et \(a\lt 0\))
\(x\) \(-\infty\) \(-2\) \(2,5\) \(+\infty\)
Signe de \(Q(x)\) \(a=-2\) \(-\) \(0\) \(+\) \(0\) \(-\)

Nous retrouvons bien que \(Q(x)\) est du signe contraire de \(a\) entre les racines, c'est à dire positif pour \(x\in\mathopen{]}-2;2,5\mathclose{[}\)

Conclusion générale quel que soit le signe du coefficient « a »

Nous sommes dans le cas où : \(\Delta\gt 0\) et (\(a\lt0\) ou \(a\gt 0\)), \(P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) avec \(x_1< x_2\)

Nous pouvons tirer maintenant une conclusion de notre travail.

La première étant que vous devez savoir reconstituer par vous-mêmes un tableau de signes, retrouver et appliquer les techniques que nous venons d'utiliser.

Mais synthétisons les résultats que nous avons obtenus. Nous obtenons le Tableau de Signes suivant :


Tableau de Signes dans tous les cas où \(\Delta\gt 0\)
\(x\) \(-\infty\) \(x_1\) \(x_2\) \(+\infty\)
Signe de \(P(x)\) Signe de \(a\) \(0\) Signe contraire de \(a\) \(0\) Signe de \(a\)

Nous pouvons tirer une règle générale de notre étude :

à retenir

Soit un polynôme du second degré \(P(x)=ax^2 + bx + c\) avec \(a\neq0\), dont le discriminant est strictement positif et dont les deux racines dans l'ensemble des nombres réels \(x_1\) et \(x_2\) sont telles que \(x_1\lt x_2\) :

  • \(P(x)\) est du signe de son coefficient dominant \(a\), pour toutes valeurs de \(x\) inférieure à \(x_1\) et pour toutes valeurs de \(x\) supérieure à \(x_2\), c'est à dire pour \(x\in\mathopen{]}-\infty;x_1\mathclose{[}\) et \(x\in\mathopen{]}x_2;+\infty\mathclose{[}\)

  • \(P(x)\) est du signe contraire de \(a\) pour toutes valeurs de \(x\) comprise dans l'intervalle entre \(x_1\) et \(x_2\), c'est à dire \(x\in\mathopen{]}x_1;x_2\mathclose{[}\)

Règle pratique pour soulager sa mémoire mais se rassurer sur le résultat !

La règle que nous venons d'énoncer est un peu imbuvable et difficile à retenir telle quelle. C'est pour cela que nous insistons sur le raisonnement à suivre. Essayez de mémoriser ce qui suit.

Retenez bien que quand \(\Delta\gt 0\), le polynôme a le même signe que \(a\) en dehors de l'intervalle formé par les racines, \(\mathopen{[}x_1;x_2\mathclose{]}\).

Par déduction vous pourrez tout retrouver !


Signe d'un polynôme quand le discriminant est nul

Nous sommes dans le cas où : \(\Delta=0\) et bien sûr \(a\neq0\)

Nous savons que si son discriminant est nul, un polynôme de degré deux prend la forme factorisée : \[\boxed{P(x)=a(x-x_1)^2}\] \(x_1\) est la solution de l'équation \(P(x)=0\).

Etudions la situation :

  • \(P(x)\) est le produit de deux facteurs : \((x-x_1)^2\) et \(a\)

  • Le terme \((x-x_1)^2\) est un carré donc il n'est jamais négatif

  • Le seul renseignement que nous avons sur \(a\) est qu'il est non nul, ce qui veut dire qu'il est soit positif, soit négatif

Donc, en utilisant la règle des signes pour la multiplication (règle que nous avons rappelée plus haut) nous voyons que :

  • si \(a\gt 0\) alors \(P(x)\) est le produit de deux termes positifs et est donc positif

  • si \(a\lt0\) alors \(P(x)\) est le produit d'un terme positif et d'un terme négatif, il est donc négatif

Nous constatons que \(P(x)\) a toujours le même signe que \(a\), sauf pour \(x=x_1\), valeur pour laquelle le polynôme s'annule.

Le tableau de Signes se présente ainsi :


Tableau de Signes dans tous les cas où \(\Delta=0\)
\(x\) \(-\infty\) \(x_1\) \(+\infty\)
Signe de \(P(x)\) Signe de \(a\) \(0\) Signe de \(a\)

Nous pouvons donc retenir que :

à retenir

Soit un polynôme du second degré \(P(x)=ax^2 + bx + c\) avec \(a\neq0\), dont le discriminant est nul et qui a une racine \(x_1\) dans l'ensemble des nombres réels :

\(P(x)\) est du signe de son coefficient dominant \(a\) pour toutes valeurs de \(x\) sauf pour \(x=x_1\) où il est nul.

Appliquer la méthode sur des exemples concrets

Pour bien nous assurer que le résultat dépend du signe du coefficient \(a\), nous allons prendre deux exemples.


Premier cas \(a\gt0\)

?

Etudions le polynôme \[R(x)=0,09x^2+0,6x+1\]

Son coefficient \(a=0,09\) est strictement positif.

Le discriminant de \(R(x)\) est nul et le polynôme admet donc une seule racine \(x_1=-\displaystyle{\frac{10}{3}}\) Le trinôme se factorise sous la forme \(P(x)=a(x-x_1)^2\)

En cas de doute, reprenez les fondamentaux sur le second degré ou la recherche algébrique des racines pour le degré 2.

Concrètement, le calcul nous donne :

\[\begin{align}R(x) &=0,09\left(x-\left(-\frac{10}{3}\right)\right)^2\\ &=0,09\left(x+\frac{10}{3}\right)^2 \end{align}\]

L'étude du signe est plus simple dans ce cas : \(R(x)\) est le produit de \(0,09\) qui est positif et de \((x+\frac{10}{3})^2\), un carré qui n'est jamais négatif. Par la règle des signes nous savons que la multiplication de deux nombres positifs donne un nombre positif donc nous pouvons affirmer que \(R(x)\) est toujours positif sauf pour \(x=-\frac{10}{3}\) où \(R(x)=0\)

Un petit schéma pour effacer toute obscurité :

\[\array{R(x) & = & 0,09 & \times &\displaystyle{\left(x+\frac{10}{3}\right)^2} \\ & & \color{red}{\LARGE{\downarrow}} & & \color{red}{\LARGE{\downarrow}} \\ & & \normalsize\color{red}{>0} & & \color{red}{\normalsize\begin{cases} >0 \\ mais=0\;si \\ \;x=-\frac{10}{3} \end{cases}}}\]

Nous pouvons remplir le tableau de signes correspondant :


Tableau de Signes pour \(R(x)=0,09\left(x+\frac{10}{3}\right)^2\)
(\(\Delta=0\) et \(a\gt 0\))
\(x\) \(-\infty\) \(-\displaystyle{\frac{10}{3}}\) \(+\infty\)
Signe de \(R(x)\) \(+\) \(0\) \(+\)
\(a=0,09\) Signe de \(a\) \(0\) Signe de \(a\)

Et notre résultat général est confirmé.


Deuxième cas \(a\lt0\)

?

Voici cette fois le polynôme \[S(x)=-x^2+6x-9\]

Le coefficient \(a=-1\) est strictement négatif.

Le discriminant de \(S(x)\) est nul et le polynôme admet donc une seule racine \(x_1=3\). Et, encore une fois, le trinôme se factorise sous la forme \(P(x)=a(x-x_1)^2\)

Concrètement, le calcul nous donne :

\[\begin{align}S(x) &=-1(x-3)^2\\ &=-(x-3)^2 \end{align}\]

Par la règle des signes nous savons que la multiplication d'un nombre négatif et d'un nombre positif donne un nombre négatif donc nous pouvons affirmer que \(S(x)\) est toujours négatif sauf pour \(x=3\) où \(S(x)=0\)

Traçons un schéma analogue pour bien visualiser :

\[\array{S(x) & = & - & & (x-3)^2 \\ & & \color{red}{\LARGE{\downarrow}} & & \color{red}{\LARGE{\downarrow}} \\ & & \normalsize\color{red}{<0} & & \color{red}{\normalsize\begin{cases} >0 \\ mais=0\;si \\ \;x=3 \end{cases}}}\]

Nous avons tout pour établir le tableau de signe !


Tableau de Signes pour \(S(x)=-(x-3)^2\)
(\(\Delta=0\) et \(a\lt 0\))
\(x\) \(-\infty\) \(3\) \(+\infty\)
Signe de \(S(x)\) \(-\) \(0\) \(-\)
\(a=-1\) Signe de \(a\) \(0\) Signe de \(a\)

Nous constatons donc bien avec ces deux exemples, que si son discriminant est nul alors le polynôme est du signe de \(a\), que \(a\) soit positif ou négatif (sauf bien sûr pour sa racine où il est nul).


Signe d'un polynôme quand le discriminant est strictement négatif

Nous sommes dans le cas où : \(\Delta\lt0\) et \(a\neq0\)

Si le discriminant est strictement négatif alors on ne peut pas mettre le polynôme sous la forme factorisée, car il n'existe pas de solution pour l'équation \(P(x)=0\) dans l'ensemble des nombres réels. Le polynôme ne s'annule jamais.

Nous allons devoir vous demander d'admettre le résultat que nous vous donnons, mais si l'explication technique vous intéresse, vous la trouverez dans nos explications sur l'origine et le rôle du discriminant.

à retenir

Soit un polynôme du second degré \(P(x)=ax^2 + bx + c\) avec \(a\neq0\), dont le discriminant est négatif :

\(P(x)\) est toujours du même signe que son coefficient dominant \(a\), pour toutes les valeurs de \(x\).

Un exemple concret

Ici pas de méthode à appliquer, seulement un résultat à retenir.

?

Prenons le polynôme \[T(x)=3x^2-1,5x+2,5\]

Le coefficient \(a=3\) est strictement positif.

Mais le discriminant de \(T(x)\), égal à \(-27,75\), est lui négatif. Le polynôme n'a donc pas de racines et ne peut pas se factoriser !

En utilisant la règle que nous vous avons donné ci-dessus, nous pouvons affirmer qu'un polynôme dont le discriminant est négatif est toujours du signe de son coefficient \(a\). Donc que \(T(x)\) est toujours positif puisque \(a=3\) est positif.


Conclusion sur la recherche du signe d'un polynôme du second degré

Objectivement, tout ce que nous avons fait dans cette page n'est pas vraiment difficile. Il faut, comme toujours, être attentif et soigneux. Mais rien d'inaccessible !

Et pas d'inquiétude, l'étude du signe d'un polynôme selon la valeur de \(x\) est utile et sert heureusement à quelque chose, par exemple à résoudre des inéquations.


!

Il ne faut pas confondre le signe du polynôme du second degré et le sens de variation de la fonction !

Nous étudions ce sens de variation avec les Paraboles, dans la résolution graphique d'une équation du second degré.

Vous verrez aussi que l'étude du signe à partir de la courbe de la fonction est plus concrète et aisée à comprendre.

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Les auteurs

Passionnés par la transmission et la mise à la portée des Maths, en particulier à ceux qui ne se croient pas capables de les comprendre.

Arielle Bresson : Professeur certifié de Mathématiques, enseigne au Lycée Technique et Hôtelier de Monaco, membre du Bureau de l'Association Monaco Mathématiques, chevalier des Palmes Académiques.

Maurice Bresson : Créateur/concepteur/rédacteur de capte-les-maths, diplômé de MIAGE, ancien responsable du service informatique d'une usine du groupe l'Oréal, ancien gestionnaire et administrateur d'une enseigne de prêt-à-porter.

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