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LES POURCENTAGES

capte-les-maths.com → ApplicationsLes Pourcentages › Un peu de théorie car ça peut servir ! (A ⁄ 14)

Un peu de théorie car ça peut servir !


Comment résoudre un problème de pourcentages ? Pour comprendre et aller un peu plus loin, un petit peu de théorie peut être utile. Ce n'est pas très difficile et surtout si en lisant cela vous n'êtes pas trop perdu, c'est que vous n'êtes pas bien loin du but.

Le cours a expliqué les pourcentages à partir d'exemples concrets et pratiques, utilisables dans la vie de tous les jours. Mais les mathématiques c'est aussi de la théorie. En voici un peu pour ceux qui voudraient aller plus loin en généralisant leurs connaissances.


Repérer les données du problèmes à résoudre

La toute première chose à faire, c'est de trouver dans le problème les valeurs que nous connaissons et celle que nous cherchons.

  • La Valeur Initiale

  • La Valeur Finale

  • Le(s) Pourcentage(s) de Variation

Quel que soit le problème que l'on vous posera, c'est une de ces trois valeurs que l'on ne connaît pas (et on connaît forcément les deux autres).

Nous avons donc 3 types de problèmes possibles

Et 2 méthodes principales pour les résoudre

  1. Le tableau de proportionnalité

  2. Le coefficient multiplicateur

Enfin, pour bien poser le problème et comprendre simplement les explications, nous appellerons :

  • VI - la Valeur Initiale

  • VF - La Valeur Finale

  • PV - Le Pourcentage de Variation

Et voilà, maintenant attaquons-nous aux explications...


Le cas où la Valeur Finale est inconnue

Nous connaissons donc la Valeur Initiale et le Pourcentage de Variation.

?

Comment résoudre le cas (a.), celui où on ne connaît pas la Valeur Finale ?


1ère méthode

Pour résoudre le cas où nous ignorons la valeur finale, nous pouvons utiliser la méthode du Tableau de Proportionnalité

  1. Première ligne du tableau : la Valeur Initiale

    Dans la première ligne du tableau , nous inscrirons la valeur initiale VI (nous la connaissons) et sa valeur en pourcentage.

    à retenir

    Dans le Tableau de Proportionnalité, la Valeur Initiale est toujours associée à 100 car cette Valeur Initiale est dans tous les cas égale à 100% de ce qu’on cherche.

    La Valeur Initiale et le nombre 100 seront sur la même ligne (toujours).

    La première ligne de notre tableau se présente donc ainsi :

    Tableau de Proportionnalité
    Unité %
    Valeur Initiale VI 100

    Petit rappel : une unité, ça peut être des €, des kg, des km, des pommes... (Voir : Les Mots)

  2. La deuxième ligne du tableau : la variation entre la Valeur Initiale et la Valeur Finale

    Dans la deuxième ligne nous trouverons la deuxième donnée qui nous est connue : le pourcentage de variation et son équivalent en valeur que nous devons déterminer.

    à retenir

    Pour trouver la Valeur Finale, il faut savoir de combien elle a changé par rapport à la Valeur Initiale. C'est à dire connaître l'écart en valeur entre la Valeur Finale et la Valeur Initiale.

    (Autrement dit : la valeur de la variation par rapport à la Valeur Initiale, car c’est cette variation qui est proportionnelle à la Valeur Initiale – Voir le cours sur la Proportionnalité).

    C’est cette variation que nous retrouverons dans la deuxième ligne du Tableau de Proportionnalité.

    Cet écart en valeur entre la Valeur Finale et la Valeur Initiale se placera dans la colonne « Unité », et de plus, comme c'est lui que nous cherchons, nous l'appellerons « X ».

    Dans la colonne « % », nous trouverons le Pourcentage de Variation qui dans ce cas est donné par le problème.

    Donc au final le tableau se présentera ainsi :

    Tableau de Proportionnalité
    Unité %
    Valeur Initiale VI 100
    Variation en hausse ou en baisse X PV

    A partir de là, nous effectuons le produit en croix qui nous donne :

    X = 

    VI × PV
    100

    Cet écart peut montrer une augmentation (s'il est > 0) ou une baisse (s'il est < 0) par rapport à la Valeur Initiale.

  3. Et donc nous pouvons calculer la Valeur Finale VF = VI + X

Bien sûr dans ce cas, ce n’est pas la méthode la plus simple, mais c’est une question de goût…


2ème méthode

Et toujours dans le cas où nous ne connaissons pas la Valeur Finale (a.), nous allons utiliser maintenant le Coefficient Multiplicateur.

Nous calculons d'abord le Coefficient Multiplicateur associé à la variation de PV% :

1 + PV% s'il s'agit d'une augmentation

1 - PV% s'il s'agit d'une baisse

Puis en appliquant le Coefficient Multiplicateur à la Valeur Initiale, nous trouvons :

Valeur Finale VF = VI × Coefficient Multiplicateur.



Le cas où le Pourcentage de Variation est inconnu

Nous connaissons donc la Valeur Initiale et la Valeur Finale.

?

Comment résoudre le cas (b.), où on ne connaît pas le Pourcentage de Variation ?


1ère méthode

Nous allons reprendre d'abord la méthode du Tableau de Proportionnalité

  1. La première ligne du Tableau de Proportionnalité est la même que dans le cas précédent.

    Tableau de Proportionnalité
    Unité %
    Valeur Initiale VI 100
  2. Pour la deuxième ligne, nous sommes capables de déterminer la valeur de la variation par rapport à la Valeur Initiale, c’est à dire de calculer VF – VI.

    à retenir

    Pour déterminer la variation entre une donnée initiale et une donnée finale, il faut toujours faire « Valeur Finale – Valeur Initiale » !

    Et nous noterons « X » le taux que nous cherchons (et qui correspond à la variation que nous venons de trouver).

  3. Donc au final le tableau de proportionnalité se présentera ainsi :

    Tableau de Proportionnalité
    Unité %
    Valeur Initiale VI 100
    Variation en hausse ou en baisse VF - VI X

    A partir de là, en effectuant le produit en croix, nous obtenons :

    X = 

    (VF – VI) × 100
    VI

    %


2ème méthode

Nous nous trouvons toujours dans le cas où nous ne connaissons pas le Pourcentage de Variation (b.) et nous allons maintenant utiliser le Coefficient Multiplicateur.

Cette méthode est plus algébrique, et peut-être un peu plus difficile à suivre, alors attachez vos ceintures !

Nous cherchons le Pourcentage de Variation, et nous savons que :

  • VF = VI × Coefficient Multiplicateur.

  • Coefficient Multiplicateur = 1 + PV%, s'il s'agit d'une augmentation.

  • Coefficient Multiplicateur = 1 − PV%, s'il s'agit d'une baisse.

En mélangeant habilement ces équations, nous obtenons : VF = VI × (1 ± PV%).

Et donc, dans le cas d'une augmentation, nous avons :

1 + PV% = 

VF
VI

 ⇒  PV% =

VF
VI

 − 1

Et dans le cas d'une baisse, nous avons :

1 − PV% = 

VF
VI

 ⇒  PV% = 1 − 

VF
VI

Voilà, ce n'est que ça...

!

Il faut noter cependant ici un point important. Pour que l'écriture et le raisonnement soient clairs, nous avons abusé de la notation : PV% ici veut dire valeur décimale du pourcentage PV% ! Car c'est bien sûr la valeur décimale du taux de variation qui est utilisée dans les calculs numériques.


Pour que ce soit bien clair, voici un petit exemple numérique.

?

Une petite calculette vous paraît soudain utile... Votre meilleur ami l'a achetée 100 €. Mais quand vous arrivez au magasin la voici à 102 € !
Quelle hausse a-t-elle subie ?

Voici donc les données que nous trouvons dans l'énoncé du problème :

  • Valeur Initiale VI = 100 €

  • Valeur Finale VF = 102 €

  • Pourcentage de Variation PV = ? %

    (il est proportionnel à votre regret d'avoir tardé à l'acheter)

Nous appliquons la formule : PV%

=

VF
VI

 − 1

 

102
100

 − 1

 

= 1,02 − 1

 

= 0,02

La machine à calculer a donc subi une augmentation de 2%.

?

Et si dans le cas d'une promotion soudaine, vous la trouviez à 98 € ! Alors...

Voici les données que nous trouvons dans l'énoncé du problème :

  • Valeur Initiale VI = 100 €

  • Valeur Finale VF = 98 €

  • Pourcentage de Variation PV = ? %

    (il est proportionnel à votre joie d'avoir tardé à l'acheter)

Nous appliquons la formule : PV%

= 1 − 

VF
VI

 

= 1 −

98
100

 

= 1 − 0,98

 

= 0,02

Le prix de la machine à calculer a donc baissé de 2%.



Le cas où la Valeur Initiale est inconnue

Pour finir examinons notre troisième cas... Nous connaissons donc la Valeur Finale et le Pourcentage de Variation.

?

Comment résoudre le cas (c.), où on ne connaît pas la Valeur Initiale ?


1ère méthode

Nous résolvons d'abord le problème à l'aide d'un petit Tableau de Proportionnalité

!

ATTENTION ! Le pourcentage donné s’applique à la Valeur Initiale (sinon nous tombons sur un cas déjà traité)

  1. La Valeur Initiale (comme toujours) correspond à 100%. C’est elle que nous cherchons, alors appelons-la « X ».

    Nous pouvons donc déjà remplir la première ligne du Tableau de Proportionnalité

    Tableau de Proportionnalité
    Unité %
    Valeur Initiale X 100
  2. Pour la deuxième ligne, nous ignorons la variation en valeur, nous devons donc mettre ce que nous connaissons, la Valeur Finale.

    Tableau de Proportionnalité
    Unité %
    Valeur Initiale X 100
    Valeur Finale VF
  3. Reste à savoir que mettre dans la dernière case ?

    Nous savons que la Valeur Finale vaut : 100% de la Valeur Initiale + PV% de la Valeur Initiale.

    Ce qui s'écrit :

    VF = (100% × VI) + (PV% × VI)

    De cette équation nous déduisons :

    VF

    = (100% × VI) + (PV% × VI)
    = (100% + PV%) × VI
    = (100 + PV)% × VI

    Rappelez-vous, vous vouliez achetez une calculette à 100 € pour vérifier tous nos calculs. Manque de chance, elle a augmenté de 2%! Nous avons donc Valeur Finale = (100% × 100 €) + (2% × 100 €).

    Reprenons notre formule : VF = (100 + PV)% de la Valeur Initiale et rappelons nous que nous avons appelée « X » cette Valeur Initiale. Nous obtenons alors :

    VF = (100 + PV)% × X

    Et c’est donc ce (100 + PV) que nous allons mettre dans la dernière case du tableau de proportionnalité.

    Dans notre exemple nous inscririons dans la case (100 + 2)% soit 102%.

    Qu'il s'agisse d'une variation en hausse ou en baisse ne change pas la démonstration. Et nous obtiendrions en cas de diminution :

    VF = (100 − PV)% × X

    Si par miracle la calculette avait baissé de 2%, nous mettrions (100 − 2)% soit 98%.

    Au final le tableau de proportionnalité se présentera ainsi :

    Tableau de Proportionnalité
    Unité %
    Valeur Initiale X 100
    Variation en hausse ou en baisse VF 100 ± PV

    A partir de là, nous pouvons effectuer un produit en croix qui nous donne :

    X = 

    VF × 100
    100 ± PV

2ème méthode

Nous nous trouvons toujours dans le cas où nous ignorons la Valeur Initiale (c.) et nous allons utiliser, dans cette deuxième méthode, la technique du Coefficient Multiplicateur.

Comme nous le savons bien, nous avons :

Valeur Finale = Valeur Initiale × Coefficient multiplicateur associé à la variation de PV%

Et donc tout simplement :

Valeur Initiale = Valeur Finale ÷ Coefficient multiplicateur associé à la variation de PV%


Qu'en pensez-vous ? La présentation avec ce qu'on appelle des variables vous paraît peut-être plus difficile à comprendre... Pourtant, et sans avoir peur de nous répéter, si vous avez un peu suivi tout ça, vous êtes sur la bonne voie.

Maintenant, reprenez quelques exercices pris au hasard, en essayant de comprendre vraiment ce que vous faites. Jusqu'à ce que le calcul sur les Pourcentages vous devienne aussi naturel que de respirer...


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