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→ Notions de Base › La Proportionnalité › 5 ⁄ 9
Le change des monnaies, c'est à dire la conversion des devises entre elles, va nous permettre d'appliquer les techniques de construction d'un tableau de proportionnalité et de calcul de produits en croix.
Mais au-delà, apprendre comment on passe d'un montant en euro à un montant en dollar, ou vice versa, nous fait toucher, sur un exemple simple, l'utilité journalière des mathématiques dans notre vie.
Le Taux de Change (ou Cours de Change) d'une monnaie est le prix que cette monnaie vaut dans une autre. Les variations de cotations se placent dans une situation typique de proportionnalité : les devises varient entre elles d'une façon proportionnelle.
Nous allons profiter de cette première application pratique de la proportionnalité, pour décomposer les étapes nécessaires à la résolution de tout exercice ou problème. Nous utilisons la même présentation que dans la correction des exercices.
Au départ tout va bien...
?
Enfin les vacances ! Vous partez 10 jours à New-York.
Une semaine avant le départ, vous souhaitez changer 350 € en dollars.
Votre banquier vous donne le cours du jour : 1 $ = 0,75 €.
Combien de dollars allez-vous obtenir ?
!
ATTENTION ! Dans tout exercice à résoudre, il est important de commencer par réfléchir à ce que l'on nous demande, recenser ce que nous savons, et après seulement la méthode à employer pour trouver la solution nous apparaîtra.
Pas besoin forcément d'y passer beaucoup de temps, mais prenons cette habitude et nous serons sûr d'en gagner !
Trouver ce qui est donné par l'énoncé du problème
Pour 0,75 €, nous obtenons 1 $.
Comprendre ce que nous cherchons
Pour 350 €, combien de dollars allons-nous obtenir ?
Avons-nous déjà rencontré un cas semblable ?
Oui, dans la page Les Produits en Croix
Un petit piège
Que vous partiez 2 jours ou 10 jours ne changera pas le calcul ! Pour ce problème on s'en fiche !
Résoudre le problème
L'actualité nous le montre tous les jours, le dollar et l'euro varient ensemble. Et nous savons que ce sont des grandeurs proportionnelles.
Et pour résoudre cela, rien de tel qu'un petit Tableau de Proportionnalité ! Nous écrivons sur une ligne tout ce que nous savons sur l'euro. Et en correspondance tout ce que nous savons sur le dollar.
| Euros | 0,75 | 350 |
| Dollars | 1 | X |
En appliquant la règle du Produit en Croix, nous obtenons,
X =
= 466,67 $
Donc nous disposerons de 466,67 $ pour notre voyage à New-York.
Un cours de 1 $ = 0,75 € signifie que le taux de change USD/EURO est de 0,75.
Au retour ça ira quand même !
?
A votre retour de New-York, il vous reste 95 $ que vous voudriez maintenant convertir en euros.
Sur le site Internet de votre banque, vous obtenez les renseignements suivants :
| Pays | Devise | Achat | Vente |
|---|---|---|---|
| Etats-Unis | 1 $ | 0,72 € | 0,78 € |
!
ATTENTION ! Les mots Achat et Vente sont à comprendre par rapport à la banque. Rappelez-vous : le prix réel d'1 $ était 0,75 €. Et ce dollar, la banque vous l'achète 0,72 € ! Et elle revendra le même dollar à 0,78 € ! En bref, elle gagne à tous les coups...
La banque achète les devises au client au « cours achat » qui est inférieur au cours du jour et elle vend les devises au client au « cours vente » qui est supérieur au cours du jour.
Trouver ce qui est donné par l'énoncé du problème
Pour calculer combien vous allez récupérer contre vos 95 $,
il faut donc prendre le cours d'achat car c'est la banque
qui achète les dollars.
Ce qui fait donc que
pour 1 $, nous obtiendrons 0,72 €.
Un cours de 1 $ = 0,72 € signifie que le taux de change USD/EURO employé par la banque est de 0,72.
Comprendre ce que nous cherchons
Pour 95 $, combien d'euros allons-nous obtenir ?
Avons-nous déjà rencontré un cas semblable ?
Oui, dans la page Les Produits en Croix
Résoudre le problème
L'euro et le dollar sont toujours des grandeurs proportionnelles. Alors nous allons refaire un tableau de proportionnalité ! Nous appelons « X » le nombre d'euros que nous allons obtenir.
| Dollars | 95 | 1 |
| Euros | X | 0,72 |
Et toujours en appliquant la règle du Produit en Croix nous obtenons,
X =
= 68,40 €
Donc nous n'avons plus que 68,40 malheureux euros à notre retour, mais la tête pleine de bons souvenirs...
Vous l'avez remarqué, dans ce second exemple, nous avons pris un marteau-pilon pour écraser une mouche ! Il aurait bien-sûr suffit de multiplier directement le nombre de dollars par le cours de change pour obtenir le résultat... Mais l'important pour nous, c'est de vous faire toucher du doigt une situation de proportionnalité et comprendre des techniques de calculs qui dans des cas plus complexes vous seront très utiles.
Nous avons compris que les devises varient en proportions les unes des autres, et que donc tout l'appareil de la proportionnalité s'applique. Mais bien sûr dans la vie courante, on a rarement le temps de dessiner des tableaux, et ça n'est d'ailleurs pas nécessaire : une simple opération de division ou de multiplication nous permet de passer d'une devise à une autre par l'intermédiaire du taux de change. En fait une petite calculette suffit !
Il faut d'abord connaître le Taux de Change du jour. Nous avons vu que c'est ce que vaut une unité d'une devise dans une autre.
Le taux de change de l'euro en dollar est ce que vaut 1 euro en dollars (le nombre de dollars que l'on obtient contre un euro). Par exemple, si EUR/USD = 1,3 alors cela veut dire que 1 € = 1,3 $
Pour trouver ce que vaut un montant en euro converti en dollar, on applique la formule :
Montant en USD =
Le taux de change représente toujours la valeur en dollar que l'on peut obtenir avec un euro.
Pour trouver ce que vaut un montant en dollar converti en euro, il faut appliquer la formule :
Montant en Euro = Montant en USD × Taux de Change EUR/USD
Si vous connaissez le Taux de Change USD/EUR, vous vous sentirez peut-être embêté pour appliquer les formules précédentes. Pas de vrai problème, on obtient le taux de change EUR/USD en appliquant la formule :
Taux de Change EUR/USD =
De plus, ces formules sont valables pour toutes les devises, du moment que vous connaissez le taux de change qui les relie.
!
Une dernière remarque, le terme Taux (dans Taux de Change) n'est pas adapté, car ce que l'on appelle Taux de change n'est pas un taux (c'est à dire un pourcentage) mais un coefficient multiplicateur qu'on nommerait encore plus précisément coefficient de proportionnalité entre deux devises.
Quoi qu'il en soit, nous voilà prêts à résoudre tous les exercices que nous rencontrerons, allez donc le vérifier dans les pages qui suivent !
Les auteurs
Passionnés par la transmission et la mise à la portée des Maths, en particulier à ceux qui ne se croient pas capables de les comprendre.
Arielle Bresson : Professeur certifié de Mathématiques, enseigne au Lycée Technique et Hôtelier de Monaco, membre du Bureau de l'Association Monaco Mathématiques, chevalier des Palmes Académiques.
Maurice Bresson : Créateur/concepteur/rédacteur de capte-les-maths, diplômé de MIAGE, ancien responsable du service informatique d'une usine du groupe l'Oréal, ancien gestionnaire et administrateur d'une enseigne de prêt-à-porter.
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