Cette page vous a aidé ! Partagez-la !

Facebook
Twitter
Google+

Définition d'un Mot ou d'un Terme du cours

capte-les-maths.com

 Lexique Mathématique

Identités Remarquables du Second degré

Le but d'une identité remarquable est de faire gagner du temps et de simplifier les calculs algébriques en développant ou en factorisant rapidement des expressions. Nous allons vous présenter les trois identités remarquables du second degré. Ces formules pourraient vous inquiéter, il n'y a pas de raison ! Avec les exemples détaillés, vous allez comprendre parfaitement comment les repérer et les utiliser.

La vraie difficulté que pose une égalité remarquable est de la reconnaître ou plus encore d'arriver à la faire apparaître. Voici donc la règle de base à appliquer : l'apprendre par coeur dans les deux sens et s'entraîner sur des exemples concrets.

Ces identités remarquables, incontournables dès la fin du Collège en classe de troisième, sont indispensables dans les calculs avec les polynômes du second degré.


Qu'est-ce qu'une identité remarquable ?

Comme souvent en mathématique, un regard rapide sur l'origine des mots employés, nous expliquera l'essentiel.

  • Identité vient du mot latin «identicus» qui a donné le mot identique. En maths, une identité est une égalité toujours vérifiée quelle que soit la valeur que l'on donne aux variables.

    → Si deux choses sont identiques alors on peut remplacer l'une par l'autre...

  • Remarquable veut dire bien sûr qu'elle attire l'attention, mais de plus qu'elle a quelque chose de particulier.

    → Si une identité est remarquable, la difficulté mais aussi la solution, c'est justement de la remarquer...


Les formules d'identités remarquables sont toutes bâties sur le même principe :

une forme simple, condensée = une forme développée

Ou encore :

un produit remarquable = une somme remarquable

Pour les utiliser correctement, il faut apprendre à reconnaître aussi bien la forme simple que la forme développée.

Parfois, ce n'est pas immédiat, il faut savoir faire apparaître la bonne forme. Cela demande un peu d'astuce, mais surtout de l'habitude. Il faut retenir les formules par coeur - et dans les deux sens - et s'entraîner le plus possible. Après ça ne s'oublie plus !

Nous allons vous guider dans cette découverte.


Les trois formules d'identités remarquables du second degré

Pour les impatients, voici tout de suite les trois formules d'identités remarquables.

Nous allons noter les variables \(A\) et \(B\), elles peuvent être aussi bien des constantes (\(1\) ou \(76\)) que par exemple des monômes (\(x\) ou \(3x^2\)).

Pas la peine de finasser, il faut se confronter tout de suite aux formules !

Forme développée du carré de la somme ou du carré de la différence

à retenir

\[(A\color{red}{+}B)^2=A^2\color{red}{+}2AB+B^2\] \[(A\color{red}{-}B)^2=A^2\color{red}{-}2AB+B^2\]

Nous avons dans chaque membre de gauche, un produit remarquable :

  • \((A+B)^2\) c'est à dire la somme au carré de \(A\) et \(B\), donc \((A+B)\times(A+B)\)

  • \((A-B)^2\) c'est à dire la différence au carré de \(A\) et \(B\), donc \((A-B)\times(A-B)\)

Dans le membre de droite, nous avons ce qui s'appelle une somme remarquable (vous ne le voyez peut-être pas encore, mais elle a un aspect particulier qui attire l'attention) et qui est la forme développée du produit remarquable.

Ces deux premières formules se retiennent facilement ensembles. Si l'on connaît l'une, on connaît l'autre car le seul paramètre qui change est le signe :

  • si \(+\) dans le carré alors \(\color{red}{+}2AB\)

  • si \(-\) dans le carré alors \(\color{red}{-}2AB\)

Forme développée du produit de la somme et de la différence

à retenir

\[(A+B)(A-B)=A^2-B^2\]

Le produit de la somme et de la différence de deux termes est égal à la différence de leurs carrés (dans le même ordre).


Connaître les identités à partir de la forme développée

Une évidence : ces formules sont valables dans les deux sens. Et leur plus grande puissance se découvre quand on voit apparaître une somme remarquable, quand on les utilise donc à partir de la forme développée.

Les deux premières identités permettent, en repérant la forme développée, de la simplifier en un carré.

à retenir

\[A^2\color{red}{+}2AB+B^2=(A\color{red}{+}B)^2\] \[A^2\color{red}{-}2AB+B^2=(A\color{red}{-}B)^2\]


Avec la troisième égalité la différence de deux carrés se transforme facilement en un produit de deux facteurs.

à retenir

\[A^2-B^2=(A+B)(A-B)\]

Cette identité remarquable nous donne immédiatement la forme factorisée et les racines du polynôme.

Pourquoi faut-il connaître par coeur les identités remarquables à partir de la forme développée ? Nous allons vous l'expliquer en vous le montrant.


Comment utiliser les identités remarquables ?

Vous les connaissez par coeur déjà ? Pas sûr ! Mais voici maintenant l'essentiel, des exemples pratiques d'utilisation qui nous permettront, en les manipulant, de les comprendre et de les retenir.

Nous allons étudier cinq exemples du plus simple au plus compliqué !

Un exemple d'application numérique

En guise d'échauffement, prenons d'abord un bête exemple numérique.

?

Calculez la valeur de l'expression \[(2+3)^2\] en utilisant l'égalité remarquable adéquate.

Il nous faut calculer le carré d'une somme. Sans grande hésitation nous allons prendre l'égalité : \[(A+B)^2=A^2+2AB+B^2\] avec \(A=2\) et \(B=3\).

En appliquant la formule nous obtenons \[(2+3)^2=2^2+2\times2\times3+3^2\] Si nous calculons chaque membre, ils sont tous les deux égaux à \(25\).

Ici ces calculs ne sont pas franchement utiles ! Un coup de calculette et le tour était joué...

Exemple d'un polynôme du premier degré à une inconnue élevé au carré

Là où la formule prend son intérêt, où elle est utile, c'est quand une expression comporte une ou deux inconnues !

Prenons le cas d'un polynôme du premier degré à une inconnue élevé au carré.

?

Trouvez la forme développée et réduite de l'expression : \[(4x+2)^2\]

Nous voyons que pour appliquer la même formule que dans le cas précédent, il faut poser \(A=4x\) et \(B=2\).

Nous avons donc un produit remarquable du type \((A+B)^2\) que nous développons directement : \[\begin{align} (4x+2)^2 &=(4x)^2+2\times4x\times2+2^2\\ &=16x^2+16x+4 \end{align}\] Nous obtenons la forme développée réduite et ordonnée d'un trinôme de degré 2, ça peut servir !


Nous pouvons remarquer que même en ne connaissant pas la formule, nous pouvons trouver le résultat. Développons notre carré : \[\begin{align} (4x+2)^2 &=(4x+2)\times(4x+2)\\ &=4x\times4x+4x\times2+2\times4x+2\times2\\ &=16x^2+16x+4 \end{align}\] Voilà donc les calculs qu'il aurait fallu faire pour développer l'expression au carré... On peut conclure qu'en employant l'identité remarquable, on gagne du temps.

Faire apparaître une somme remarquable

Peut-être avez-vous l'impression d'un jeu gratuit, pas très utile... Pourtant utiliser les identités remarquables à partir de leur forme développée est quasiment indispensable pour éclaircir, simplifier et transformer des expressions algébriques. C'est ce que nous allons découvrir.

Nous allons appliquer une véritable stratégie de calcul ! En face d'une expression, nous devrons repérer, ou s'il le faut faire apparaître le début d'une identité remarquable de la forme \(x^2...\) puis déterminer ce qui correspond au \(A\) et au \(B\) des formules théoriques. Ainsi surgira une des trois sommes remarquables que nous avons rencontrées.

Un bon exemple va vous faire comprendre la méthode !


?

Transformez le polynôme du second degré : \[P(x)=2x+8+x^2\] en utilisant une identité remarquable.

La première opération est d'ordonner le polynôme dans l'ordre décroissant : \[P(x)=x^2+2x+8\] Comme cela il ressemble plus à ce dont nous avons l'habitude...


Réfléchissons... Le premier monôme est un carré, nous pourrions tenter de poser \(A=x\) et nous obtiendrions une expression de la forme : \[A^2+2A+8\] C'est une expression qui offre une grande ressemblance avec la somme remarquable : \[A^2+2AB+B^2\]


Nous ne connaissons pas \(B\) mais nous savons maintenant deux choses :

  • le produit remarquable que nous ferons apparaître sera de la forme \((x+B)^2\)

  • Les termes qui contiennent \(x\) dans le polynôme forment le début d'une identité remarquable, que nous marquons en rouge pour bien la distinguer : \[\color{red}{x^2+2x}+8\]


La (petite) difficulté est donc de trouver \(B\) ! Le plus simple est d'appliquer l'astuce que nous vous donnons maintenant, sans vous poser, dans un premier temps, plus de questions...

La variable \(B\) que nous cherchons est en fait le coefficient du terme en \(x\) multiplié par \(1/2\)

Le terme en \(x\) (le monôme de degré un) est \(2x\).

Son coefficient est \(2\).

Si ces termes ne vous parlent pas, commencez par relire comment est formé un polynôme du second degré.

Appliquons notre astuce : \[\begin{align}B&=2\times\frac{1}{2}\\&=1\end{align}\] Donc notre forme remarquable est : \[(x+1)^2\]


!

Mais là attention ! Nous avons \((x+1)^2=\color{red}{x^2+2x}\color{blue}{+1}\)

La partie qui nous intéresse - celle que nous retrouvons dans notre polynôme \(P(x)\) - est en rouge. C'est seulement cette valeur dont nous avons besoin. Le \(\color{blue}{+1}\) est en trop !

Pas d'affolement ! Une simple petite transposition dans l'équation et le problème est résolu : \[(x+1)^2=\color{red}{x^2+2x}\color{blue}{+1}\\[1.5ex] \iff\\[1.5ex] \color{red}{x^2+2x}=(x+1)^2\color{blue}{-1}\]


Voilà ! Nous arrivons au bout ! Remplaçons maintenant l'expression dans le polynôme initial : \[ \array{ P(x)= & \quad\;\,\color{red}{\underbrace{x^2+2x}}+8\\ & \color{red}{\LARGE{↓}}\\ P(x)= & \quad\;\,\color{red}{\overbrace{\color{black}{(x+1)^2}\color{blue}{-1}}}+8\\[-1ex] & \qquad\qquad\quad\,\color{blue}{\underbrace{\color{white}{-1+8}}}\\ & \qquad\qquad\quad\,\color{blue}{\LARGE{↓}}\\ P(x)= & \quad(x+1)^2\;\;\color{blue}{\overbrace{+7}} } \]

Et alors ? Pensez-vous peut-être... C'est vrai, ici on n'a pas forcément l'impression d'avoir simplifié quelque chose ! Et pourtant dans cet exemple, nous avons fait apparaître ce qu'on appelle la forme canonique de la fonction polynôme \(P(x)\) que nous retrouverons dans l'étude des paraboles...


!

Il n'est pas nécessaire de détailler ainsi le calcul si vous y arriver sans. Mais gardez bien le processus en tête, sinon ces opérations, vues de l'extérieur, ont toujours un petit air de bidouilles quasi magiques, et finalement assez décourageantes. Et de là à conclure : « Les maths, c'est pas pour moi... » ce serait dommage !

Utiliser la différence de deux carrés et trouver les racines d'un polynôme

Pour souffler un peu, un exemple plus facile !

?

Mettre sous sa forme factorisée le polynôme \[P(x)=2x^2-8\]

Si vous avez un peu étudié le cours sur la résolution des équations du second degré, vous savez sortir l'artillerie en calculant le discriminant, etc... Mais il y a ici beaucoup plus simple à faire en observant un peu... Il faut d'abord se poser la question, est-ce qu'il n'y a pas moyen de faire surgir une identité remarquable ?

La première manoeuvre est de mettre en facteur le coefficient du terme en \(x^2\), et \(P(x)\) se transforme alors en : \[P(x)=2(x^2-4)\]

Et là, un peu d'entraînement, nous fait remarquer que \(4\) c'est \(2^2\), et c'est gagné ! Nous retrouvons la forme de l'identité : \[A^2-B^2=(A+B)(A-B)\]

Il suffit donc de faire le calcul : \[\begin{align} P(x) &=2(x^2-4)\\ &=2(x^2-2^2)\\ &=2(x+2)(x-2) \end{align}\]

Et en bonus, nous trouvons tout de suite que le polynôme \(P(x)\) a deux racines : \(x_1=-2\) et \(x_2=2\).

Rapide et efficace !

Encore un exemple pour améliorer la technique !

Il faut souvent un peu manipuler un polynôme du second degré pour que l'identité remarquable à employer soit visible.

?

Trouvons l'identité remarquable à appliquer pour transformer le polynôme du second degré : \[P(x)=3x^2-12x+12\]

Commençons encore par mettre en facteur le coefficient du monôme \(3x^2\) pour faire apparaître un terme en \(x^2\) seul : \[\begin{align}P(x)&=3x^2-12x+12\\&=3(x^2-4x+4)\end{align}\]

Le début de la somme remarquable est constitué par les monômes qui contiennent \(x\), c'est à dire \(x^2-4x\).

Cette forme doit nous faire irrésistiblement penser à \[A^2-2AB+B^2=(A-B)^2\]

Nous suivons la même méthode en posant \(A=x\) et le produit remarquable est alors \((x-B)^2\)

Nous appliquons la technique que nous vous avons donnée dans un exemple précédent : \[\begin{align}B&=4\times\frac{1}{2}\\&=2\end{align}\] Donc notre forme remarquable devient : \[(x-2)^2\]


Utilisons l'identité remarquable pour développer ce carré : \[(x-2)^2=\color{red}{x^2-4x}\color{blue}{+4}\\[1.5ex] \iff\\[1.5ex] \color{red}{x^2-4x}=(x-2)^2\color{blue}{-4}\]


Maintenant remplaçons simplement l'expression dans le polynôme de départ : \[\begin{align} P(x) &=3(\;[\color{red}{x^2-4x}]\;+4\;)\\ &=3(\;[(x-2)^2\color{blue}{-4}]\;+4\;)\\ &=3(\;(x-2)^2\color{blue}{+0}\;)\\ &=3(x-2)^2 \end{align}\]

Nous avons obtenu à la fois la forme factorisée et la forme canonique de notre polynôme du second degré, et aussi sa racine double \(x_1=2\).


Domaines d'utilisation des Identités Remarquables

Nous l'avons vu, les identités remarquables s'utilisent dans le calcul algébrique. Elles permettent de transformer rapidement une expression en la développant ou en la factorisant.

Les identités du second degré que nous avons plus spécialement travaillées s'emploient beaucoup dans l'étude des polynômes de degré deux.

L'idéal pour les utiliser avec le plus d'efficacité serait de trouver à ces calculs un côté amusant...


Voici quelques domaines de capte-les-maths.com où vous pourrez utiliser et approfondir les notions étudiées dans cette page :

Vous pouvez aussi naviguer à partir du menu en haut de page et découvrir d'autres domaines d'application passionnants, du moins c'est ce que nous souhaiterions !

Retour

Google+
Twitter
Facebook
Facebook
Twitter
Google+

Si nous vous avons aidés, dites-le nous, faites-nous connaître ! Partagez ! Likez notre page Facebook, suivez-nous sur Twitter... Nous avons besoin de vous !

Logo d'appel de la page FacebookCapte les Maths sur Facebook

© 2008-2018 - capte-les-maths.com - Tous droits réservés - Projet / Contact - Imprimer