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Les Polynômes du Second Degré

Connaissez-vous les fonctions polynômes du second degré (ou de degré 2) ? Oui sans doute ! Mais savez-vous qu'elles peuvent se présenter sous trois écritures différentes pas toujours si évidentes à reconnaître... Le parcours parmi ces formes diverses - développées, canoniques, factorisées - est parfois un peu technique mais les exemples le rendront lumineux ! Et vous aurez acquis les bases indispensables pour continuer.

Ces formes du trinôme sont égales et ont chacune leur utilité particulière. Des exemples ? On identifie un polynôme de degré 2 au premier coup d'oeil sous sa forme développée... La forme canonique renseigne sur la courbe représentative (une parabole)... Quant à la forme factorisée, nous trouverons son apparence grâce au fameux discriminant \(\Delta\)...

Si vous connaissez mal ce qu'est un polynôme, nous vous donnons toutes les notions de base et le vocabulaire nécessaire dans l'introduction au cours sur les polynômes.


Sommaire de la page


Qu'est-ce qu'un polynôme du second degré

Pas de surprise, cette première définition d'un polynôme du second degré reprend ce que nous savons déjà sur les polynômes en général.

à retenir

Un polynôme du second degré est une fonction \(P\) définie sur \(\mathbb R\) qui peut s'écrire sous la forme : \[\boxed{P(x)=ax^2 + bx + c \;\;\;\;\small{\mathbf{avec}}\normalsize\;a\neq 0}\]

\(a\),\(b\) et \(c\) sont des constantes fixées.

Nous reconnaissons donc immédiatement un polynôme du second degré quand il apparaît sous la forme générale d'un trinôme de degré deux.

Pour bien la comprendre, reprenons chaque terme de la définition.


Vous trouverez des explications plus approfondies sur les expressions polynôme et second degré dans cette page où nous expliquons tout ce qu'il faut savoir pour bien démarrer avec les polynômes.

Rappelons nous que le degré d'un polynôme est donné par la puissance la plus élevée des termes en \(x\), donc ici \(2\) d’où l'expression second degré. Ce qui nous permet de poser une deuxième définition :

à retenir

Un polynôme du second degré est un polynôme où la puissance la plus grande de la variable est 2.


Le mot fonction signifie que \(P\) varie en fonction de la valeur de \(x\). Par exemple :

si \(x=1\), on peut trouver la valeur de P en remplaçant \(x\) par \(1\) : \[P(1)=a\times1^2+b\times1+c\] si \(x=-3\) alors \[P(-3)=a\times(-3)^2+b\times(-3)+c\] La valeur de \(P\) dépend directement de celle de \(x\).


\(P\) est définie sur \(\mathbb R\) veut dire que toutes les valeurs de \(x\) devront appartenir à l'ensemble des nombres réels, c'est à dire à tous les nombres courants.


Un polynôme de degré 2 sous sa forme générale est formé de la somme de trois monômes : \(ax^2\), \(bx\) et \( c \).

Nous pouvons remarquer que ces trois monômes sont de la forme un nombre multiplié par l'inconnue élevée à une puissance \(0\), \(1\) ou \(2\). En effet nous pourrions écrire le polynôme ainsi : \[P(x)=ax^2 + bx^1 + cx^0 \] car nous savons que \(x^1=x\) et \(x^0=1\).


Dans la définition, la seule contrainte donnée porte sur le coefficient \(a\) : il est impératif que \(a\) soit non nul.

Et quand on y réfléchit, cela paraît évident ! Si \(a=0\) alors nous n'avons plus de terme « en \(x^2\) » et nous tombons sur un bête polynôme de degré un. Nous ne pouvons plus parler de second degré.


Les coefficients \(b\) et \(c\) ont - eux - la liberté d'être nuls, nous approfondirons cela dans nos exercices de reconnaissance des polynômes du second degré.


Puisqu'il y a trois monômes, on appelle aussi ce polynôme un trinôme (tri veut dire trois).

\(P\) s'appelle donc aussi un trinôme du second degré.


La courbe représentative de cette fonction polynôme \(P\) est appelée Parabole.


Les différentes écritures d'un polynôme du second degré

Nous allons découvrir les trois formes principales que peut prendre un trinôme de degré deux. Ce sont trois écritures différentes possibles de la même fonction polynômiale.

Forme développée ou forme générale

à retenir

La forme développée, réduite et ordonnée d'un trinôme du second degré est

\[\boxed{P(x)=ax^2 + bx + c \;\;\;\;\small{\mathbf{avec}}\normalsize\;a\neq 0}\]

Nous constatons que cette forme développée est celle que nous venons d'étudier.

Elle correspond à l'expression du polynôme tous calculs faits, il n'est plus possible d'effectuer d'opérations pour le simplifier encore.

Tous les polynômes du second degré peuvent se mettre sous la forme développée.

C'est en utilisant cette forme de \(P(x)\) que nous pourrons trouver les racines du polynôme, c'est à dire résoudre par le calcul l'équation \(P(x)=0\).

Forme canonique

à retenir

Un polynôme du second degré sous la forme canonique s'écrit \[\boxed{P(x)=a(x-p)^2+q}\]

\(p\) et \(q\) sont des nombres réels.

Forme canonique veut dire forme de base, celle qui paraît la plus belle. D'ailleurs l'inconnue \(x\) ne s'y trouve qu'une seule fois. C'est la forme qui permet, par quelques changements, de retrouver « le plus simplement » les autres. Ici il est plus « naturel » de trouver la forme développée trinôme à partir de la forme canonique (même si ça ne se voit pas au premier coup d'oeil, il suffit de faire les calculs de développement) que l'inverse.

Tous les polynômes du second degré peuvent se mettre sous la forme canonique.


Les mathématiques sont belles et pleines de surprises que nous approfondirons par exemple en étudiant les paraboles. Nos deux réels \(p\) et \(q\) de l'écriture canoniques sont en fait les coordonnées du sommet de la Parabole représentative de la fonction \(P\).

Par tradition on les nomme \(\alpha\) et \(\beta\). La formule de la forme canonique s'écrit alors :

\[\boxed{P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta \;\;\;\;\small{\mathbf{avec}} \;\normalsize \begin{cases}\alpha = \displaystyle{\frac {-b}{2a}} \\[2ex] \beta=P(\alpha) \end{cases}}\]

Forme factorisée

Le terme « factorisée » veut dire mettre le polynôme sous la forme d'un produit de facteurs. Si cela ne signifie rien pour vous, regardez d'abord les explications sur la factorisation.

Le sujet de la forme factorisée d'un polynôme est un peu plus délicat que les précédents. Car certains polynômes ne peuvent pas se mettre sous la forme factorisée !

Savoir si un polynôme est factorisable et, si oui sous quelle forme, dépend de la valeur d'un nombre \(\Delta\) appelé discriminant

Nous allons vous donner la formule du discriminant qu'il faudra accepter et utiliser sans se poser plus de questions. Si vous souhaitez comprendre nous vous expliquons dans cette page l'origine de Delta... Mais ici le plus important est de retenir que le discriminant sert à discriminer, c'est à dire séparer les différentes formes que peut prendre un polynôme du second degré factorisé.

à retenir

Le discriminant d'un polynôme du second degré se calcule à partir des coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) du trinôme. On le note avec la lettre grecque \(\Delta\) (qui se lit delta et qui correspond à notre D français). La formule de calcul du discriminant est : \[\boxed{\Delta= b^2 - 4ac}\]

Une fois le calcul de \(\Delta\) effectué, nous allons savoir s'il est possible d'écrire le polynôme du second degré sous la forme d'un produit de polynômes du premier degré. Trois cas, qui dépendent du signe du discriminant, peuvent se présenter :

à retenir

  • Si le discriminant est positif \(\left(\Delta \gt 0\right)\) alors le polynôme peut s'écrire sous la forme : \[\boxed{P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)}\] Avec \(x_1\) et \(x_2\) nombres réels, solutions de l'équation \(P(x)=0\).


  • Si le discrimant est nul \(\left(\Delta = 0\right)\) alors le polynôme a la forme : \[\boxed{P(x)=a(x-x_1)^2}\] Avec \(x_1\) nombre réel, solution (double) de l'équation \(P(x)=0\).


  • Si le discriminant est négatif \(\left(\Delta\lt 0\right)\) alors le polynôme ne peut pas se mettre sous la forme factorisée.

Nous voyons que factoriser un trinôme de degré deux revient à savoir résoudre l'équation \(P(x)=0\), c'est à dire trouver ses solutions. Vous apprendrez à le faire dans cette page.

!

Certains polynômes du second degré ne peuvent pas se mettre sous la forme factorisée.

Apprendre à reconnaître les différentes formes

Maintenant voici quelques exemples qui nous feront mieux comprendre les différentes formes et leur relation. Le plus important dans un premier temps, est de savoir les reconnaître sans hésitation. Pour cela ce qu'il faut - comme d'habitude - c'est pratiquer.

?

Commençons par ce beau polynôme du second degré dont nous reconnaissons la forme développée : \[P(x)=-2x^2+4x+16\]

Nous voudrions le découvrir sous une forme factorisée. Mais est-il seulement factorisable ?

Pour le savoir calculons son discriminant : \[\begin{align}\Delta&=16-4\times(-2)\times16\\&=144\end{align}\]

Nous constatons que \(\Delta\) est positif. Si nous reprenons la règle (là, juste au-dessus !), nous savons que l'équation \(P(x)=0\) a deux solutions.

Ce sont \(x_1=-2\) et \(x_2=4\). Nous pouvons écrire la forme factorisée de \(P(x)\) : \[P(x)=-2(x+2)(x-4)\]

Encore une fois, ce n'est pas dans cette page que vous apprendrez à trouver des racines, il y a déjà pas mal à faire comme ça ! Revoici le lien vers la recherche des solutions au cas où...

Pour le plaisir, développons notre polynôme : \[\begin{align} P(x) &=-2(x+2)(x-4)\\ &=-2(x^2-4x+2x-8)\\ &=-2x^2+4x+16 \end{align}\] Nous retrouvons bien le polynôme initial sous sa forme développée.

Il est possible de trouver la forme factorisée par le calcul algébrique ou en repérant des racines évidentes. C'est tout à fait juste mais en général assez difficile.


?

Voici l'expression : \[P(x)=-2(x-1)^2+18\]

Est-ce un polynôme du second degré sous sa forme canonique ? Et si oui de quel polynôme s'agit-il ?

Le plus souvent, en classe de seconde par exemple, on vous demandera seulement de savoir reconnaître une forme canonique

La première étape est de vérifier que l'expression qu'on nous donne ressemble bien à la forme théorique que nous connaissons, qui est, rappelons-nous : \[P(x)=a(x-p)^2+q\] Là c'est assez encourageant, la ressemblance est frappante ! Mais si ça n'était pas le cas, ce ne serait pas la peine d'aller plus loin. Nous n'aurions pas là une forme canonique.

Mais la vérification ultime, celle qui prouvera la canonicité (si si !) se fait en développant l'expression :

\[\begin{align} P(x) &=-2(x-1)^2+18\\ &=-2(x^2-2\times x\times1+(-1)^2)+18)\\ &=-2x^2+4x-2+18\\ &=-2x^2+4x+16 \end{align}\]

Nous retrouvons sous la forme développée le même polynôme que precédemment. Nous constatons qu'il peut bien prendre les trois apparences différentes.

Pour vérifier que nous avons bien affaire au même polynôme, le technique à appliquer est de développer les expressions canonique et factorisée et d'aboutir à la même forme développée.

Pour développer une forme canonique, il est indispensable de connaître les identités remarquables.


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Prenons maintenant la fonction polynôme \[R(x)=-x^2+6x-9\]

Donnez, si cela est possible, sa forme factorisée et sa forme canonique.

Calculons son discriminant \[\begin{align}\Delta&=6^2-4\times(-1)\times(-9)\\&=36-36\\&=0\end{align}\]

Le discriminant est nul, il n'existe donc qu'une seule valeur de la variable \(x\) qui annule le polynôme, cette valeur est \(x_1=3\). Nous pouvons factoriser notre \(R(x)\) comme ceci : \[R(x)=-(x-3)^2\]


Mais maintenant, soyez attentif - roulement de tambour - car nous nous trouvons dans un cas où il est possible de trouver immédiatement la forme factorisée sans calculer le discriminant \(\Delta\) ! Comment ? En faisant apparaître dans le polynôme une identité remarquable : \[\begin{align} R(x) &=-x^2+6x-9\\ &=-(x^2-6x+9) \end{align}\]

Il nous faut penser à l'égalité : \[A^2-2AB+B^2=(A-B)^2\]

Nous avons \(A^2=x^2\) et \(B^2=9\) donc \(A=x\) et \(B=3\). Pas évident au premier coup d'oeil, mais une habitude à prendre...


Et ce n'est pas fini ! Dans le même effort nous avons obtenu la forme canonique : \[R(x)=-(x-3)^2+0\]

Le \(+\;0\) est bien sûr inutile mais il nous permet de bien visualiser la formule.

Nous pouvons conclure que la forme factorisée et la forme canoniques sont identiques et que leur développement nous donne bien le polynôme de départ. Les trois formes sont des écritures différentes de la même fonction polynômiale.

Utilisation des trois formes d'un polynôme de degré deux

à retenir

En conclusion, nous pouvons retenir qu'il existe toujours une forme réduite ou une forme canonique pour un polynôme du second degré. Mais que ce polynôme n'a peut-être pas de forme factorisée !


Les trois formes de fonction polynôme que nous avons rencontrées sont égales, même si leurs écritures sont différentes. On passe d'une forme à une autre en utilisant le calcul algébrique.


Si nous mettons en valeur leurs différences, c'est que chaque forme est adaptée pour répondre à des questions particulières.


Pour trouver rapidement la forme factorisée d'un polynôme du second degré (si elle existe), le plus rapide est de résoudre l'équation \(P(x)=0\).


Pour la résolution algébrique de l'équation, nous utiliserons la forme développée.


Quant à la forme canonique, elle nous fournira les coordonnées du sommet de la parabole que nous aurons étudiée lors de la résolution graphique, et nous trouverons aussi facilement ses variations et sa courbe.


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