Propriétés de la Somme et du Produit des racines d'un polynôme du second degré

Nous nous plaçons, comme dans tous les cours sur les polynômes, dans le cas où les racines sont des nombres réels.

Détaillons ce théorème pour bien comprendre ce qu'il nous apporte.

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Le polynôme a des racines réelles donc cela veut dire que le discriminant de \(Q(x)\) est supérieur ou égal à zéro (\(\Delta\ge0\)).

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Nous appellerons les racines de \(Q(x)\) : \(x_1\) et \(x_2\). Elles peuvent être égales.

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La somme des racines est \(S=x_1+x_2\)

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Le produit des racines est \(P=x_1x_2\)

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Le théorème nous affirme que \(x_1\) et \(x_2\) sont aussi les racines d'un polynôme \(R(x)\) formé avec \(S\) et \(P\) tel que \(R(x)=x^2-Sx+P\)

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Les coefficients de \(R(x)\) sont donc :

• Pour le monôme en \(x^2\) : \(1\)

• Pour le monôme en \(x\) : \(-S\)

• Pour le terme constant : \(+P\)

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Même sans connaître les racines nous sommes capables de calculer \(S\) et \(P\) à partir des coefficients du polynôme de départ \(Q(x)\).

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Les relations entre les racines, leur Somme, leur Produit, et les Coefficients du polynôme s'appelle : Relations de Viète pour le degré 2.

Du nom de François Viète, mathématicien français du 16^ème siècle.

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Il existe un autre théorème nécessaire pour résoudre certains systèmes non linéaires simples que vous découvrirez dans les exemples :

Si nous avons deux nombres réels quelconques, nous pouvons affirmer qu'ils sont racines du polynôme : \[R(x)=x^2-Sx+P\] où \(S\) est leur somme et \(P\) leur produit.

Nous avons étudié ce polynôme dans la page de présentation des polynômes de degré 2 et nous avons trouvé sa forme factorisée : \[Q(x)=-2(x+2)(x-4)\] Ainsi nous obtenons immédiatement ses racines \(x_1=-2\) et \(x_2=4\)

Et nous calculons leur somme \(S\) leur produit \(P\) : \[S=2\quad et\quad P=-8\]

Donc, selon le théorème, \(x_1\) et \(x_2\) devraient être racines du polynôme \[R(x)=x^2-2x-8\]

Pour en être bien sûr, vérifions-le en calculant \(R(x_1)\) et \(R(x_2)\) :

\[\begin{align}R(x_1)&=(-2)^2-2(-2)-8\\&=4+4-8\\&=0\end{align}\]

\[\begin{align}R(x_2)&=(4)^2-2(4)-8\\&=16-8-8\\&=0\end{align}\]

Donc pas de problème ! Ca marche ! Nous avons vérifié que les polynômes \(Q(x)\) et \(R(x)\) ont les mêmes solutions.

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Les coefficients de \(Q(x)\) sont \(a=-2\), \(b=4\) et \(c=16\)

Reprenons les formules du théorème :

\[\begin{align}S&=-\frac{b}{a}\\[.6ex]&=-\frac{4}{-2}\\[.6ex]&=2\end{align}\]

\[\begin{align}P&=\frac{c}{a}\\[.6ex]&=\frac{16}{-2}\\[.6ex]&=-8\end{align}\]

Et c'est vérifié ! Nous retrouvons bien la somme et le produit.

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Enfin une remarque. Nous constatons que si nous mettons en facteur le coefficient dominant \(a\) de \(Q(x)\) nous obtenons : \[Q(x)=-2R(x)\]

L'important, comme toujours, est d'identifier correctement les coefficients. Vous pouvez visualiser la relation entre les deux polynômes comme ceci :

Reprenons l'exemple précédent :

\[\array{Q(x)=\color{red}{-2}\;(\;x^2 & + & \;\;\;\underbrace{\color{red}{\displaystyle{\frac{4}{-2}}}}x & + & \;\;\,\underbrace{\color{red}{\displaystyle{\frac{16}{-2}}}}\;)\\ & & \LARGE{\updownarrow} & & \LARGE\updownarrow \\ \qquad\qquad\qquad\;x^2 & + & \;\;\;\overbrace{\color{red}{-2}}x & + & \overbrace{\color{red}{-8}} }\]

Nous connaissons immédiatement la Somme et le Produit même sans connaître les racines.

1. Vous avez déjà galéré pour trouver une des racines, vous pouvez calculer l'autre facilement et rapidement...

   ?

   Reprenons encore notre trinôme :\[Q(x)=-2x^2+4x+16\] Vous connaissez déjà une des racines, comment faire vite pour la deuxième ?

   Ce coup-là, vous ne connaissiez pas la forme factorisée donc vous avez calculé Delta et trouvé \(x_1=-2\), l'heure tourne...

   Mais vous savez que la somme des racines peut s'écrire de deux façons : \[S=x_1+x_2\quad et\quad S=-\frac{b}{a}\] Les deux formes sont égales, écrivez-le : \[-2+x_2=-\frac{4}{-2}\iff x_2=2+2=4\]

   Vous avez gagné du temps. Et vous n'êtes pas obligé de détailler comme ça !

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2. Vous avez trouvé les deux racines, mais un peu inquiet, vous voulez vérifier...

   ?

   Toujours avec le même :\[Q(x)=-2x^2+4x+16\] Vous avez calculé \[x_1=-2\quad et\quad x_2=4\] Est-ce que c'est juste ?

   Stress... Stress... Mais non ! Calculons la somme des racines :

   \[\begin{align}\\[-.9ex]S&=x_1+x_2\\[1.8ex]&=-2+4\\[1.8ex]&=2\end{align}\]

   \[\begin{align}S&=-\frac{b}{a}\\[.6ex]&=-\frac{4}{-2}\\[.6ex]&=2\end{align}\]

   Les deux formules que nous connaissons donnent le même résultat, c'est un bon début ! Vérifions maintenant le produit

   \[\begin{align}\\[-.9ex]P&=x_1x_2\\[1.8ex]&=-2\times4\\[1.8ex]&=-8\end{align}\]

   \[\begin{align}P&=\frac{c}{a}\\[.6ex]&=\frac{16}{-2}\\[.6ex]&=-8\end{align}\]

   Et c'est tout bon ! La somme et le produit des racines comparées avec les rapports des coefficients du polynôme donnent le même résultat. Vous êtes sûrs d'avoir trouvé la réponse juste.

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3. Vous rencontrerez des exercices où vous connaissez la somme et le produit de deux grandeurs et il faudra les retrouver.

   ?

   Voici la somme et le produit de deux nombres : \[S=40\quad et\quad P=80\] Trouvez-les !

   Mais comme vous savez maintenant que ces nombres sont solutions de l'équation, \[x^2-40x+80=0\] Il ne vous reste qu'à la résoudre !

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4. Dit d'une façon plus solennelle, spécialement en première S, l'exemple précédent s'appelle la résolution d'un système d'équations Somme-Produit, ou résolution d'un système non linéaire. Mais c'est le même problème présenté de manière plus mathématique. Cela nous donnera :

   ?

   Trouvez deux réels \(x\) et \(y\) tels que : \[\begin{cases}40=x+y\\ 80=xy\end{cases}\]

   Mais on ne nous la fait pas ! Nous détectons la somme et le produit de deux réels. Et nous savons qu'il existe un polynôme dont ces deux nombres sont solutions : \[x^2-40x+80=0\]

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5. Dernière petite astuce, si le discriminant est nul, il suffit de diviser la somme par deux pour obtenir la racine double.

   ?

   Voici un polynôme dont le discriminant est nul : \[S(x)=-x^2+6x-9\] Trouvez la racine double sans utiliser la formule classique.

   Pour obtenir le polynôme dont les coefficients seront la somme et le produit des racines, nous devons mettre le coefficient dominant \(-1\) en facteur : \[S(x)=-(x^2-6x+9)\]

   Nous savons alors que : \[S=6\quad et\quad P=9\]

   Le discriminant est nul, le polynôme n'a qu'une seule racine qui est égale à : \[x_1=\displaystyle{\frac{S}{2}}=3\]

   Ce qui est exact ! Et le théorème nous permet d'ajouter que \(x_1\) est aussi racine de \(S(x)\).

   La formule classique, c'est \(x_1=\frac{-b}{2a}\).

Soit une fonction polynôme du second degré : \[Q(x)=ax^2+bx+c\;\;\;\small{\mathbf{avec}}\normalsize\;a\neq 0\]

Nous nous plaçons dans le cas où \(\Delta\ge0\), nous avons donc deux racines réelles \(x_1\) et \(x_2\), éventuellement égales.

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Nous avons vu que nous pouvons alors écrire \(Q\) sous la forme factorisée : \[Q(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\]

Ces deux écritures sont bien entendu égales.

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Développons cette deuxième expression : \[\begin{align}Q(x) &=a(x^2-x\times x_2-x\times x_1+x_1\times x_2)\\ &=a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2] \end{align}\]

Nous constatons que sont apparus la Somme et le Produit des racines, que fort subtilement nous allons nommer \(S\) et \(P\) : \[Q(x)=a(x^2-Sx+P)\] en posant donc \(S=x_1+x_2\) et \(P=x_1x_2\)

Nous nommerons \(R\) la fonction polynôme telle que \(R(x)=x^2-Sx+P\)

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Notre forme développée du polynôme \(Q\) de départ est égale à cette forme que nous venons de trouver.

Nous avons donc : \[ax^2+bx+c=a(x^2-Sx+P)\]

Nous pouvons factoriser le coefficient \(a\) dans le membre de gauche (\(a\neq0\)) : \[a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})=a(x^2-Sx+P)\]

Nous pouvons simplifier par \(a\) et nous obtenons : \[x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=x^2-Sx+P\]

Puisque deux polynômes sont égaux si leurs coefficients de même rang le sont, nous pouvons en déduire que \(S=-\displaystyle{\frac{b}{a}}\) et \(P=\displaystyle{\frac{c}{a}}\)

Il existe une relation simple entre la somme et le produit des racines d'un polynôme et ses coefficients.

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Montrons maintenant que les racines de \(Q\) sont aussi les racines de \(R\).

Puisque toutes les écritures d'un polynôme sont égales, nous pouvons écrire :

\[Q(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=a(x^2-Sx+P)\]

En simplifiant par \(a\) nous obtenons : \[(x-x_1)(x-x_2)=x^2-Sx+P\]

Les racines évidentes de ce polynôme sont \(x=x_1\) et \(x=x_2\), comme c'était le cas pour le polynôme \(Q\).

\(x_1\) et \(x_2\) sont donc racines du membre de droite de l'égalité, c'est à dire du polynôme \(R\).

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Nous pouvons même déduire un petit peu plus ! Nous avons une relation de proportionnalité entre un polynôme et celui construit avec la somme et le produit de ses racines.

Nous avons montré plusieurs propriétés :

• \(Q(x)=aR(x)\), avec \(a\) nombre réel non nul.

• Le coefficient dominant \(a\) est donc un Coefficient de Proportionnalité.

• \(x_1\) et \(x_2\) sont racines de tous les polynômes de la forme \(a(x^2-Sx+P)\), soit une infinité de polynômes.