Les Mathématiques...
C'est Utile et C'est Facile !
Avec capte-les-maths.com
C'est Utile et C'est Facile !
Avec capte-les-maths.com
Cette page vous a aidé ! Partagez-la !
capte-les-maths.com
→ Notions de Base › La Proportionnalité › 2 ⁄ 9
Cette fiche interactive va vous permettre de comprendre, à partir d'un exemple concret, le fonctionnement d'un Tableau de Proportionnalité (égalité des rapports) et du Coefficient de Proportionnalité. Vous apprendrez en même temps le vocabulaire de la proportionnalité (proportion, grandeurs proportionnelles...).
Cette page est conçue à partir de petits exercices : répondez aux questions et validez le bouton « Vérifiez ». Même si vous vous trompez, c'est comme cela que vous assimilerez les explications complètes du cours.
Nous avons vu avec notre première définition de la proportionnalité, comment construire un tableau de proportionnalité. Nous allons maintenant étudier ses propriétés et apprendre à en parler correctement. Et pour bien comprendre, nous allons aller très doucement !
?
| Semaines | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Quantités Vendues | 97 | 109 | 85 | 54 | 108 | 139 |
| Bénéfices (€) | 38,80 | 43,60 | 34 | 21,60 | 43,20 | 55,60 |
Nous constatons que tous ces rapports sont égaux et valent 0,40. Donc le résultat de la division des données de la 2ème ligne du tableau par celles de la 1ère est toujours le même, il est constant !
!
C'est le plus important ici : tous les rapports que nous avons calculés sont égaux !
Nous touchons ici une notion très importante : la proportionnalité signifie que deux grandeurs sont liées, qu'elles varient de la même façon, et ce qui les relie se mesure (se traduit, se matérialise...) justement par ce rapport constant que nous avons calculé.
Pour bien comprendre le sens du vocabulaire que nous allons vous donner, voici tout d'abord encore une petite question...
?
Quel est le bénéfice dégagé, la première semaine, sur la vente d'un petit pain ?
Le bénéfice pour un pain est donc de 0,40 €. Pourquoi 0,40 € ? C'est la même valeur que les rapports que nous avons calculés !
Eh oui ! Car les rapports représentent le bénéfice total d'une semaine divisé par le nombre de pains vendus, soit :
= 0,40
Ces rapports sont donc le bénéfice pour un seul pain. Et nous voyons que :
bénéfice = 0,4 × nombre de pains vendus
Plus on vend de pains plus le bénéfice est grand. Et moins on en vend... Nous pouvons dire que :
Le bénéfice varie de la même façon que le nombre de pains au chocolat vendus.
Quand on vend un pain le bénéfice augmente de 0,40 €, quand on en vend deux il augmente de 0,40 € × 2, et ainsi de suite.
Nous voyons que notre rapport 0,4 détermine quelle portion du prix des pains sera un bénéfice : on l'appelle un coefficient.
C'est parce que les rapports sont égaux (= 0,4) que nous dirons qu'il y a proportionnalité entre le nombre de pains vendus et le bénéfice obtenu.
Ce rapport 0,4 s'appelle le Coefficient de Proportionnalité puisqu'il mesure comment nos deux grandeurs sont proportionnelles.
Tout cela nous montre qu'il était justifié d'appeler le tableau donné dans le problème : Tableau de Proportionnalité.
Nous y voilà ! Pour arriver à parler simplement et correctement de tout ça, il va falloir utiliser les bons mots, passer par une petite case vocabulaire !
Pour dire que la variation du bénéfice et celle du nombre de pains vendus sont simultanées (se passent en même temps), nous emploierons les expressions :
Le bénéfice varie en proportion du nombre de pains vendus
Le bénéfice est proportionnel au nombre de pains vendus
le bénéfice et le nombre de pains vendus sont des grandeurs proportionnelles
La suite des différents bénéfices (38,30; 43,60; 34; 21,60; 43,20; 55,60) et la suite des différentes quantités vendues (97; 109; 85; 54; 108; 139) sont des suites proportionnelles
Voilà beaucoup de définitions d'un coup, mais c'est vraiment juste une question de vocabulaire.
Réfléchissez, dans la vie, on est tout le temps confronté à des situations de proportionnalité : plus on travaille, plus les notes s'améliorent ; plus on gagne d'argent, plus on peut acheter ; ...
De toutes façons, quand vous aurez bien étudié le cours et les exercices, tous ces mots seront entrés tous seuls dans votre tête.
Nous allons pouvoir maintenant donner une définition plus rigoureuse du Coefficient de Proportionnalité.
Le coefficient de proportionnalité est donc le rapport constant entre deux grandeurs proportionnelles. Ce qui veut dire que :
Si nous avons une grandeur G1 proportionnelle à une grandeur G2, on appelle Coefficient de Proportionnalité le nombre qui multiplié à une valeur de G1 permet d'obtenir la valeur correspondante de G2.
Reprenons notre exemple pour bien comprendre la définition :
G1 est le nombre de pains au chocolat vendus chaque semaine.
G2 est le bénéfice d'une semaine.
Nous savons que G1 et G2 sont des grandeurs proportionnelles.
Supposons qu'une semaine nous ayons vendu 2 pains (2 est donc une valeur de la grandeur G1). Nous savons que la vente de ces 2 pains va nous donner un bénéfice. Ce bénéfice est une valeur de la grandeur G2.
Le coefficient de proportionnalité est le nombre qui nous permettra de passer des 2 pains vendus au bénéfice obtenu. Nous avons trouvé que ce coefficient est égal à 0,4.
Donc puisque 2 est une valeur de G1 nous pouvons affirmer que la valeur de G2 correspondante est égale à 2 multiplié par le coefficient de proportionnalité, donc à 2 × 0,40 soit 0,80 €.
Alors vous vous demandez maintenant : à quoi sert de définir ce coefficient ? Vous vous doutez bien que la réponse est : à beaucoup de choses ! Vous le retrouverez par exemple avec le coefficient de TVA, le coefficient de Marge des Calculs Commerciaux ou l'échelle d'une carte. Et bien d'autres encore...
Voilà l'intérêt du coefficient :
Quand on est sûr d'être face à deux grandeurs proportionnelles entre elles, le coefficient permet, connaissant n'importe quelle valeur d'une des grandeurs, de trouver la valeur correspondante de l'autre grandeur.
Nous vous proposons deux exercices très simples pour illustrer cette propriété.
Maintenant, pour que compreniez l'importance de savoir que des grandeurs sont proportionnelles (on parle aussi de Situation de Proportionnalité), nous allons travailler deux petits exercices.
Mais vous remarquerez que c'est seulement parce que le bénéfice et le nombre de pains sont proportionnels que nous sommes capables de répondre aux questions sans renseignements supplémentaires.
?
Quel est le bénéfice dégagé par la vente de 93 pains au chocolat ?
Le raisonnement serait :
le nombre de pain vendus et le bénéfice obtenu par cette vente sont proportionnels
la grandeur bénéfice est reliée à la grandeur nombre par le Coefficient de Proportionnalité 0,4
on obtient donc le bénéfice en multipliant le nombre de pains par le Coefficient de Proportionnalité 0,4.
Et cela est valable quelle que soit la quantité qu'on vend.
C'est pour cela qu'on appelle aussi le Coefficient de Proportionnalité, Coefficient Multiplicateur.
Vous pouviez trouver la solution par un simple raisonnement, avec votre logique de tous les jours, c'est la force de la proportionnalité. Mais pour visualiser la méthode sous une forme mathématique rappelez-vous que nous avons trouvé le rapport :
= Coefficient de Proportionnalité 0,40
Et que nous en avons déduit :
bénéfice = 0,4 × nombre de pains vendus
?
Combien faut-il vendre de pains au chocolat pour avoir un bénéfice de 50 € ?
Notre allons construire notre raisonnement de la même façon.
Nous avons un rapport constant entre le bénéfice et le nombre de pains : un pain au chocolat procure un bénéfice de 0,40 €.
Bénéfice et nombre de pains sont donc des grandeurs proportionnelles.
En divisant le bénéfice par le Coefficient Multiplicateur 0,4 on obtient le nombre de pains.
Le coefficient (qui est le rapport entre les deux grandeurs) marque quelle est la proportion de l'une des grandeurs par rapport à l'autre.
De la même façon, notre logique naturelle était suffisante pour trouver la solution de l'exercice, mais voici la forme mathématique. Nous partons du même rapport :
= Coefficient de Proportionnalité 0,40
Nous en déduisons :
= nombre de pains vendus
Nous avons constaté que le coefficient de proportionnalité nous permet de passer d'une grandeur à l'autre. Il est le lien entre elles. Avec ce petit schéma, plus rien ne sera caché...
Autrement dit :
Bénéfice
= Coefficient de Proportionnalité × Nombre de pains
Nombre de pains
= Bénéfice ÷ Coefficient de Proportionnalité
Voilà ! Le plus dur est fait ! Maintenant on va voir comment utiliser tout ça. En premier lieu il nous faut savoir si nous sommes ou non dans une Situation de Proportionnalité.
Les auteurs
Passionnés par la transmission et la mise à la portée des Maths, en particulier à ceux qui ne se croient pas capables de les comprendre.
Arielle Bresson : Professeur certifié de Mathématiques, enseigne au Lycée Technique et Hôtelier de Monaco, membre du Bureau de l'Association Monaco Mathématiques, chevalier des Palmes Académiques.
Maurice Bresson : Créateur/concepteur/rédacteur de capte-les-maths, diplômé de MIAGE, ancien responsable du service informatique d'une usine du groupe l'Oréal, ancien gestionnaire et administrateur d'une enseigne de prêt-à-porter.
Si nous vous avons aidés, dites-le nous, faites-nous connaître ! Partagez ! Likez notre page Facebook, suivez-nous sur Twitter... Nous avons besoin de vous !
© 2008-2018 - capte-les-maths.com - Tous droits réservés - Projet / Contact - Imprimer
