LA PROPORTIONNALITÉ

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X Les Produits en Croix X

La technique des Produits en Croix, qu'on appelle aussi parfois calcul d'une « quatrième proportionnelle », voire « règle de trois », fait partie de ces règles mathématiques dont on garde le nom même quand on a oublié de quoi il s'agit.

à retenir

Le principe simple, mais fondamental, la seule condition pour pouvoir l'utiliser, c'est d'être dans une Situation de Proportionnalité.

Comment calculer dans une Situation de Proportionnalité ?

Nous avons appris à reconnaître une situation de proportionnalité, mais nous ne savons pas encore comment utiliser cette information ! Pour cela nous disposons de deux méthodes principales à choisir selon le goût ou le problème.

La première méthode utilise le Tableau de Proportionnalité, et nous allons, l'étudier dans cette page !
La deuxième méthode utilise le Coefficient de Proportionnalité, et nous en verrons une application avec le Coefficient Multiplicateur dans la séquence sur « les Pourcentages ».

Utilisation du Tableau de Proportionnalité

Nous allons vous expliquer ce qu'est le Produit en Croix et comment s'en servir. Mais d'abord nous devons vous montrer comment, pourquoi et dans quelles conditions précises on a le droit de l'utiliser. Cela vous évitera bien des erreurs...

Laura a participé à la Nofinishline (une épreuve où ce qui compte c'est de marcher ou courir sur la plus grande distance possible).
Elle a mis 20 mn pour effectuer un tour de 1,6 km.
Elle voudrait savoir en combien de temps, elle aura parcouru 10 km ?
(Si elle tient bien son rythme, on sait que la distance parcourue est proportionnelle au temps).

Ici, nous ne cherchons pas à montrer qu'il y a proportionnalité entre les grandeurs. Nous le savons !

Appelons « X » le temps que Laura mettra pour parcourir 10 km. Nous savons donc que :

Pour faire 1,6 km, Laura met 20 mn.
Pour faire 10 km, Laura met X mn.

La distance est proportionnelle au temps : nous sommes dans une situation de proportionnalité, et nous pouvons donc construire un Tableau de Proportionnalité.

Tableau de Proportionnalité
Temps (mn)	20	X
Distance (km)	1,6	10

Le but de la manoeuvre est donc de compléter le Tableau de Proportionnalité, de trouver X. Nous allons utiliser la propriété que nous avons découverte en étudiant les tableaux et les situations de proportionnalité : on a égalité des rapport Distance ⁄ Temps pour chaque colonne du tableau, donc :

1,6

Nous appliquons la propriété concernant l'égalité de 2 , soit :

1,6 × X = 20 × 10

Nous en déduisons que,

X =

20 × 10

1,6

= 125 mn

Laura mettra donc 125 mn pour parcourir 10 km.

Répétons le ! C'est parce qu'il y a proportionnalité entre les grandeurs, que nous avons l'égalité des rapports et que nous pouvons effectuer ces opérations.

Et tout cela nous mène directement à la technique de calcul des Produits en Croix.

Définition de la règle du Produit en Croix

Nous voilà à notre règle à retenir, à encadrer, à se répéter...

Reprenons notre exemple. Nous avons construit le tableau suivant :

Tableau de Proportionnalité
Temps (mn)	20	X
Distance (km)	1,6	10

Et nous avons trouvé, X =

20 × 10

1,6

Nous voyons que nous avons multiplié les données en diagonale : 20 × 10 et X × 1,6 et qu'en les dessinant nous obtenons une croix :
comment faire un produit en croix

C'est pour cela que l'on appelle cette opération le Produit en Croix, et nous voyons que nous pouvons trouver directement « X » en l'appliquant.

à retenir

Règle de calcul du Produit en Croix :
Si dans un Tableau de Proportionnalité, nous connaissons la valeur de 3 cases sur 4, pour obtenir la valeur inconnue nous pouvons :

Multiplier les deux informations connues en diagonale.
Diviser par la troisième information connue.

Cette valeur « X » que nous avons calculée, s'appelle aussi la quatrième proportionnelle.

Après avoir étudié ces premières pages du cours sur la Proportionnalité, vous savez tout maintenant. Du moins en théorie ! Mais le secret des Maths, c'est la pratique - comme pour la course à pieds. Dans les pages d'exercices vous avez tout ce qu'il faut pour vous entraîner !

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