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capte-les-maths.com → Applications › Les équations : Résoudre une équation par transposition des termes (page 4)

Résoudre une équation par transposition des termes


La transposition des termes est la méthode principale de résolution des équations du premier degré à une inconnue. Quand vous maîtriserez bien cette technique, vous saurez toutes les résoudre, c'est à dire trouver leur solution (si elle existe).

Dans cette page, nous recueillons le fruit de nos efforts. Si vous n'êtes pas très à l'aise avec la manipulation des termes d'une équation, nous vous conseillons d'étudier d'abord la page sur les techniques de base. Tout y est bien détaillé pour que la méthode de transposition que nous expliquons ici, vous paraisse ensuite une évidence.


Sommaire de la page


Principes à retenir pour trouver la solution d'une équation

Récapitulons tout d'abord tout ce que nous avons appris sur la manière de résoudre une équation. Cela ne peut pas faire de mal ! Et en fait, si vous avez travaillé les premières pages du cours, vous savez déjà tout !

à retenir

  • L'égalité doit être maintenue entre les deux côtés de l'équation.
    A n'importe quel prix ! Si ce n'est pas le cas, vous ne trouverez jamais une solution juste.

  • Nous posons comme principe que les termes en \(x\) doivent être ramenés à gauche du signe égal (dans le membre gauche de l'égalité) et que les termes sans \(x\) (les nombres seuls) doivent se retrouver à droite du signe égal (dans le membre de droite de l'égalité).

Nous appliquerons les règles de base que nous avons détaillées en expliquant comment simplifier une équation du premier degré.

à retenir

  1. On ne change pas une équation en ajoutant ou en enlevant un même terme aux deux membres de l'égalité.

  2. On ne change pas une équation en divisant ou en multipliant par un même terme les deux membres de l'égalité.

Enfin il ne faut pas oublier notre but : trouver la solution de l'équation !

à retenir

Une équation est terminée (résolue) quand on a trouvé la valeur de l'inconnue (\(x = \, ...\)) qui la vérifie.

Mais maintenant, à propos de la solution, nous devons faire une remarque importante.

à retenir

Une équation du premier degré à une inconnue a au plus une solution (c'est çà dire elle a une seule solution, ou pas de solution du tout).

Bien sûr, nous aborderons toutes les situations possibles dans les exercices.


Résoudre une équation avec la méthode de transposition des termes

Nous allons expliquer, ce que veut dire transposer les termes d'une équation du premier degré. Cette méthode est une simplification de ce que nous avons déjà étudié qui vous fera gagner beaucoup de temps. Mais bien sûr, il est indispensable que vous restiez concentrés et rigoureux, sinon gare à la catastrophe !

Cas d'une addition ou d'une soustraction

Pour bien comprendre, commençons par réfléchir sur une équation simple à résoudre :

\[2x + 3 = -1 + 4x \tag{1}\label{1}\]

Notre première tâche est de regrouper les \(x\) dans le membre gauche de l'égalité.

Pour cela, reprenons la technique que nous avons employée en étudiant les opérations possibles sur une équation : nous inscrivons donc \(− 4x\) de chaque côté de l'égalité.

\[2x + 3 \color{red}{− 4x} = − 1 \,\underbrace{+\,4x \color{red}{− 4x}}_{=\,0} \tag{2}\label{2}\]

Nous obtenons l'équation :

\[2x + 3 \color{red}{− 4x} = − 1 \tag{3}\label{3}\]

Maintenant, observons bien ce qui vient de se passer ! On dirait bien que \(4x\) a traversé le signe égal en changeant de signe !

Nous sommes partis de \(\eqref{1}\) : \(2x + 3 = -1 \color{red}{+} 4x\)

Et nous arrivons à \(\eqref{3}\) : \(2x + 3 \color{red}{−} 4x = − 1\)

Ainsi nous pouvons dire que \(\color{red}{+4x}\) a disparu du membre de droite pour apparaître dans le membre de gauche avec le signe contraire, soit \(\color{red}{-4x}\).

Donc, après avoir observé ce phénomène, nous avons le droit de penser qu'il est inutile d'écrire l'équation \(\eqref{2}\), et nous pouvons gagner beaucoup de temps en constatant que :

Tout se passe comme si lorsqu'un terme change de côté, il prenait le signe contraire.

Et c'est ce que nous allons désormais supposer !

On appelle cette règle, la transposition des termes de l'équation. Posons-la :

à retenir

Transposer les termes d'une équation veut dire les déplacer dans l'autre membre en les changeant de signe.

  • Si le terme à déplacer de l'autre côté du égal est précédé du signe \(\color{red}+\) ou de rien (il est positif), alors de l'autre côté il sera précédé du signe \(\color{red}−\) (il devient négatif).

  • Si le terme à déplacer de l'autre côté du égal est précédé du signe \(\color{red}−\) (il est négatif), alors de l'autre côté il sera précédé du signe \(\color{red}+\) ou de rien (il devient positif).

Le terme que nous changeons de membre prend donc le signe opposé en traversant le signe égal. On appelle ce terme, le terme transposé.

Et cette règle va nous faire gagner beaucoup de nos précieux efforts ! Reprenons notre exemple en appliquant la méthode que nous venons de découvrir :

\[2x + 3 = -1 + 4x\]

Transposons le terme \(+\,4x\).

\[2x + 3 \color{red}{− 4x} = − 1\]

Nous voyons que le terme \(+\,3\) n'est pas du bon côté, nous allons lui aussi le transposer :

\[2x − 4x = − 1 \color{red}{− 3}\]

Maintenant, il faut effectuer les calculs :

\[-2x = -4\]

Arrivé à ce point, nous allons utiliser la règle qui nous autorise à diviser chaque membre d'une égalité par le même terme, et pour n'avoir que des \(x\) à gauche il nous faudra choisir \(−\,2\) :

\[\frac{-2x}{\color{red}{-2}}=\frac{-4}{\color{red}{-2}}\]

Nous pouvons simplifier :

\[\require{cancel}\frac{\cancel{-2}x}{\cancel{\color{red}-2}}=\frac{\cancel-4}{\cancel{\color{red}−}\color{red}2}\]

Et en effectuant le calcul, nous aboutissons à notre valeur inconnue, la racine de l'équation que nous voulions résoudre :

\[x = 2\]

L'équation a donc pour solution \(x = 2\)

Maintenant, il serait peut-être bien de commencer tout de suite la mise en pratique avec cet exercice sur la transposition de termes ajoutés ou enlevés.


Cas d'une multiplication ou d'une division

Maintenant que nous avons traité les cas d'addition ou de soustraction de termes, il nous faut résoudre ceux où le terme restant dans le membre de gauche est composé de l'inconnue et d'un autre élément. Nous appellerons cet élément un facteur s'il multiplie notre inconnue ou un diviseur s'il la divise.

Ce n'est pas vraiment difficile à faire, mais le danger se trouve dans la confusion possible entre les méthodes. Le fond du problème, et pour le dire rapidement, c'est que le fonctionnement d'une addition (ou d'une soustraction) est très différent de celui d'une multiplication ou d'une division.

  1. L'inconnue est multipliée

    Nous allons de nouveau réfléchir sur un exemple, l'équation :

    \[4x=2\tag{4}\label{4}\]

    Nous voyons que dans le membre de gauche nous avons une multiplication (\(4×x\)).

    Nous allons d'abord appliquer la méthode apprise dans les règles de simplification quand l'inconnue est multipliée par une valeur. Elle est parfaite pour des débutants qui manquent d'aisance dans les calculs, mais nous pourrons l'améliorer !

    Comme nous l'avons vu, pour simplifier le membre de gauche, nous divisons chaque côté de l'égalité par le facteur 4 et nous pouvons éliminer ce 4 présent au numérateur et au dénominateur. \[\frac{4x}{\color{red}4}=\frac{2}{\color{red}4}\implies \require{cancel}\frac{\cancel{4}x}{\cancel{\color{red}4}}=\frac{2}{\color{red}4}\]

    Nous obtenons l'équation simplifiée : \[x=\frac{2}{\color{red}4}\tag{5}\label{5}\]

    Observons maintenant le phénomène qui s'est produit :

    Nous sommes partis de \(\eqref{4}\) : \(\color{red}4x=2\)

    Et nous arrivons à \(\eqref{5}\) : \(x=\displaystyle\frac{2}{\color{red}4}\)

    Tout se passe comme si le facteur 4 multiplié traversait le égal pour aller diviser l'autre membre.

    Les étapes intermédiaires ne sont donc pas nécessaires :

    \[\array{\color{red}{\underbrace{4×}}x=2 & \implies & x=\displaystyle{\color{red}{\frac{\color{black}2}{\underbrace 4}}} \\ \Large\color{red}{↘} & & \Large\color{red}{↗}\\ & \Large\color{red}\longrightarrow & \\ }\]


  2. L'inconnue est divisée

    Voici l'exemple de l'équation

    \[\frac x3=5\tag{6}\label{6}\]

    Dans le membre de gauche nous avons la division de l'inconnue \(x\) par le diviseur 3.

    Reprenons d'abord la technique étudiée dans les règles de simplification quand l'inconnue est divisée par une valeur .

    Nous allons multiplier par 3 chaque membre de l'équation ce qui nous permettra de simplifier le membre de gauche en obtenant \(x\) seul.

    \[\frac x3\color{red}{×3}=5\color{red}{×3} \implies \require{cancel}\frac{x}{\cancel 3}\color{red}{×}\cancel {\color{red}3}=5\color{red}{×3} \]

    Nous arrivons à l'équation simplifiée :

    \[x=5\color{red}{×3}\tag{7}\label{7}\]

    Une fois encore, regardons le chemin parcouru :

    Nous sommes partis de \(\eqref{6}\) : \(\displaystyle{\frac {x}{\color{red}3}} =5\)

    Et nous arrivons à \(\eqref{7}\) : \(x=5\color{red}{×3}\)

    Tout se passe comme si 3 qui divisait le membre de gauche traversait le égal pour aller multiplier l'autre membre.

    Une fois de plus, nous pouvons sauter des étapes !

    \[\array{\displaystyle{\color{red}{\frac{\color{black}x}{\underbrace 3}}}=5 & \implies & x=5\color{red}{\underbrace{×3}} \\ \Large\color{red}{↘} & & \Large\color{red}{↗}\\ & \Large\color{red}\longrightarrow & \\ }\]


à retenir

En passant de l'autre côté du signe égal, on applique au terme transposé (multiplié ou divisé) l'opération contraire (ou réciproque).

  • Si le terme à déplacer de l'autre côté du égal multiplie le membre de départ, alors en passant de l'autre côté, il divisera l'autre membre.

  • Si le terme à déplacer de l'autre côté du égal divise le membre de départ, alors en passant de l'autre côté, il multipliera l'autre membre.

!

Mais faites bien attention ! Dans le cas de multiplication ou de division, le signe ne change pas ! En aucun cas !

Pour ceux qui voudrait approfondir, opérations réciproques veut dire que si on applique les deux opérations l'une après l'autre, on retrouve la valeur de départ comme si on n'avait rien fait.

La multiplication et la division sont des opérations réciproques (comme l'addition et la soustraction).

\[x\implies x×4\implies\frac{(x×4)}{4}\implies x\]

Nous avons préparé un exercice sur la transposition de termes multipliés qui vous permettra de bien comprendre la méthode.



Petite mise en garde (once more) !

La transposition des termes est une technique indispensable pour résoudre en toute sérénité une équation du 1er degré, mais...

!

Vous voyez qu'on peut résoudre très vite une équation, sauter des étapes d'écriture... Et avec la pratique ce sera de plus en plus tentant. Mais attention ! C'est là que se trouve le danger. Ce que l'on n'écrit pas, il faut l'avoir bien en tête. Il faut poser soigneusement chaque opération, le plus proprement possible pour ne pas se perdre dans les calculs.

Alors ! Ce n'est pas si compliqué non ? Il vous reste à présent à vous entraîner avec nos exercices et tous ces calculs deviendront des automatismes... Bon courage et foncez !

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