Résoudre une équation par transposition des termes

Nous appliquerons les règles de base que nous avons détaillées en expliquant comment simplifier une équation du premier degré.

Enfin il ne faut pas oublier notre but : trouver la solution de l'équation !

Mais maintenant, à propos de la solution, nous devons faire une remarque importante.

Pour bien comprendre, commençons par réfléchir sur une équation simple à résoudre :

\[2x + 3 = -1 + 4x \tag{1}\label{1}\]

Notre première tâche est de regrouper les \(x\) dans le membre gauche de l'égalité.

Pour cela, reprenons la technique que nous avons employée en étudiant les opérations possibles sur une équation : nous inscrivons donc \(− 4x\) de chaque côté de l'égalité.

\[2x + 3 \color{red}{− 4x} = − 1 \,\underbrace{+\,4x \color{red}{− 4x}}_{=\,0} \tag{2}\label{2}\]

Nous obtenons l'équation :

\[2x + 3 \color{red}{− 4x} = − 1 \tag{3}\label{3}\]

Maintenant, observons bien ce qui vient de se passer ! On dirait bien que \(4x\) a traversé le signe égal en changeant de signe !

Nous sommes partis de \(\eqref{1}\) : \(2x + 3 = -1 \color{red}{+} 4x\)

Et nous arrivons à \(\eqref{3}\) : \(2x + 3 \color{red}{−} 4x = − 1\)

Ainsi nous pouvons dire que \(\color{red}{+4x}\) a disparu du membre de droite pour apparaître dans le membre de gauche avec le signe contraire, soit \(\color{red}{-4x}\).

Donc, après avoir observé ce phénomène, nous avons le droit de penser qu'il est inutile d'écrire l'équation \(\eqref{2}\), et nous pouvons gagner beaucoup de temps en constatant que :

Tout se passe comme si lorsqu'un terme change de côté, il prenait le signe contraire.

Et c'est ce que nous allons désormais supposer !

On appelle cette règle, la transposition des termes de l'équation. Posons-la :

Le terme que nous changeons de membre prend donc le signe opposé en traversant le signe égal. On appelle ce terme, le terme transposé.

Et cette règle va nous faire gagner beaucoup de nos précieux efforts ! Reprenons notre exemple en appliquant la méthode que nous venons de découvrir :

\[2x + 3 = -1 + 4x\]

Transposons le terme \(+\,4x\).

\[2x + 3 \color{red}{− 4x} = − 1\]

Nous voyons que le terme \(+\,3\) n'est pas du bon côté, nous allons lui aussi le transposer :

\[2x − 4x = − 1 \color{red}{− 3}\]

Maintenant, il faut effectuer les calculs :

\[-2x = -4\]

Arrivé à ce point, nous allons utiliser la règle qui nous autorise à diviser chaque membre d'une égalité par le même terme, et pour n'avoir que des \(x\) à gauche il nous faudra choisir \(−\,2\) :

\[\frac{-2x}{\color{red}{-2}}=\frac{-4}{\color{red}{-2}}\]

Nous pouvons simplifier :

\[\require{cancel}\frac{\cancel{-2}x}{\cancel{\color{red}-2}}=\frac{\cancel-4}{\cancel{\color{red}−}\color{red}2}\]

Et en effectuant le calcul, nous aboutissons à notre valeur inconnue, la racine de l'équation que nous voulions résoudre :

\[x = 2\]

L'équation a donc pour solution \(x = 2\)

Maintenant que nous avons traité les cas d'addition ou de soustraction de termes, il nous faut résoudre ceux où le terme restant dans le membre de gauche est composé de l'inconnue et d'un autre élément. Nous appellerons cet élément un facteur s'il multiplie notre inconnue ou un diviseur s'il la divise.

Ce n'est pas vraiment difficile à faire, mais le danger se trouve dans la confusion possible entre les méthodes. Le fond du problème, et pour le dire rapidement, c'est que le fonctionnement d'une addition (ou d'une soustraction) est très différent de celui d'une multiplication ou d'une division.

1. L'inconnue est multipliée

   Nous allons de nouveau réfléchir sur un exemple, l'équation :

   \[4x=2\tag{4}\label{4}\]

   Nous voyons que dans le membre de gauche nous avons une multiplication (\(4×x\)).

   Nous allons d'abord appliquer la méthode apprise dans les règles de simplification quand l'inconnue est multipliée par une valeur. Elle est parfaite pour des débutants qui manquent d'aisance dans les calculs, mais nous pourrons l'améliorer !

   Comme nous l'avons vu, pour simplifier le membre de gauche, nous divisons chaque côté de l'égalité par le facteur 4 et nous pouvons éliminer ce 4 présent au numérateur et au dénominateur. \[\frac{4x}{\color{red}4}=\frac{2}{\color{red}4}\implies \require{cancel}\frac{\cancel{4}x}{\cancel{\color{red}4}}=\frac{2}{\color{red}4}\]

   Nous obtenons l'équation simplifiée : \[x=\frac{2}{\color{red}4}\tag{5}\label{5}\]

   Observons maintenant le phénomène qui s'est produit :

   Nous sommes partis de \(\eqref{4}\) : \(\color{red}4x=2\)

   Et nous arrivons à \(\eqref{5}\) : \(x=\displaystyle\frac{2}{\color{red}4}\)

   Tout se passe comme si le facteur 4 multiplié traversait le égal pour aller diviser l'autre membre.

   Les étapes intermédiaires ne sont donc pas nécessaires :

   \[\array{\color{red}{\underbrace{4×}}x=2 & \implies & x=\displaystyle{\color{red}{\frac{\color{black}2}{\underbrace 4}}} \\ \Large\color{red}{↘} & & \Large\color{red}{↗}\\ & \Large\color{red}\longrightarrow & \\ }\]

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2. L'inconnue est divisée

   Voici l'exemple de l'équation

   \[\frac x3=5\tag{6}\label{6}\]

   Dans le membre de gauche nous avons la division de l'inconnue \(x\) par le diviseur 3.

   Reprenons d'abord la technique étudiée dans les règles de simplification quand l'inconnue est divisée par une valeur .

   Nous allons multiplier par 3 chaque membre de l'équation ce qui nous permettra de simplifier le membre de gauche en obtenant \(x\) seul.

   \[\frac x3\color{red}{×3}=5\color{red}{×3} \implies \require{cancel}\frac{x}{\cancel 3}\color{red}{×}\cancel {\color{red}3}=5\color{red}{×3} \]

   Nous arrivons à l'équation simplifiée :

   \[x=5\color{red}{×3}\tag{7}\label{7}\]

   Une fois encore, regardons le chemin parcouru :

   Nous sommes partis de \(\eqref{6}\) : \(\displaystyle{\frac {x}{\color{red}3}} =5\)

   Et nous arrivons à \(\eqref{7}\) : \(x=5\color{red}{×3}\)

   Tout se passe comme si 3 qui divisait le membre de gauche traversait le égal pour aller multiplier l'autre membre.

   Une fois de plus, nous pouvons sauter des étapes !

   \[\array{\displaystyle{\color{red}{\frac{\color{black}x}{\underbrace 3}}}=5 & \implies & x=5\color{red}{\underbrace{×3}} \\ \Large\color{red}{↘} & & \Large\color{red}{↗}\\ & \Large\color{red}\longrightarrow & \\ }\]

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La transposition des termes est une technique indispensable pour résoudre en toute sérénité une équation du 1^er degré, mais...