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capte-les-maths.com → Notions de Base › Les équations : Exercices corrigés de résolution des équations du premier degré (page 5)

Exercices corrigés de résolution des équations du premier degré


Résoudre une équation du premier degré n'est pas si difficile que ça ! Il faut pratiquer beaucoup en appliquant quelques règles simples (de survie) que nous allons vous rappeler. Mais surtout ne partez pas directement étudier la correction des exercices ! Il faut chercher vous-même d'abord, en n'ayant pas peur de vous tromper. C'est comme cela que vous comprendrez et apprendrez !

Vous pouvez bien sûr travailler tout de suite avec nos exercices corrigés en détail, mais si vous ne maîtrisez pas bien les techniques utilisées pour résoudre une équation, vous risquez de galérer pour rien. Nous vous conseillons de lire d'abord les règles de bases pour simplifier une équation ou si vous avez déjà un peu plus l'habitude l'explication de la méthode de résolution.


Sommaire de la page


Un petit rappel de calcul littéral

Résoudre des équations, c'est utiliser toutes les techniques du calcul numérique et du calcul littéral. Cela demande de l'entraînement. Nous reverrons la plupart des règles en corrigeant les exercices. Mais nous commencerons malgré tout par un rappel basique et indispensable. Et tant mieux si c'est une évidence pour vous !

Signe de la multiplication implicite

Vous l'avez remarqué, dans les équations on rencontre des termes de la forme \(2x\) ou \(3x\) ou \(ax\)... C'est une source fréquente d'erreur quand on commence à travailler les équations.

Il faut donc savoir que quand on écrit \(4x\), cela veut dire « \(4\) multiplié par \(x\) » ou « 4 fois \(x\) » ou encore « \(4 × x\) ».

Le signe de la multiplication est implicite, c'est à dire que l'on juge qu'il est évident que 4 est multiplié par \(x\) et que donc il est inutile de l'écrire. Cela rend les équations beaucoup plus lisibles.

Et \(4x\) se lit « quatre \(x\) » ! (D'ailleurs si vous avez des pommes dans votre panier d'osier, vous ne dites pas j'ai 4 fois une pomme mais j'ai 4 pommes !)

Nombre 1 implicite

Dans le même ordre d'idée, le nombre \(1\) peut lui aussi parfois être implicite, c'est à dire qu'il est tellement évident qu'il est là qu'il en devient gênant de l'écrire.

Mais il faut garder dans un coin de votre tête que \(x\) seul veut dire \(1x\) (et donc aussi \(1×x\)). Nous avons :

\[x=1x=1×x\]

De la même façon l'opposé de \(x\), c'est à dire \(−x\), veut dire \(−1x\) ou \(−1×x\), et nous avons :

\[−x=−1x=−1×x\]

Vous comprendrez quand nous parlerons des erreurs fréquentes, pourquoi ce rappel est important.


Quelques erreurs et confusions fréquentes

Nous allons vous montrer quelques horreurs (oh pardon ! erreurs...) courantes, et vous vous direz sans doute : ce n'est pas possible de se tromper comme ça ! Et pourtant (stress, inattention, fatigue, envie de faire autre chose...) si !

  1. S'appliquer à écrire le plus proprement possible les lettres, et les nombres, et les opérations, et l'enchaînement des calculs... sans oublier les signes !

    Cette remarque vous paraitra peut-être superflue (on n'est plus au CP !) et pourtant ! La plupart des erreurs que vous risquez de commettre proviendront d'équations mal posées, de signes mal tracés, de chiffres illisibles...


  2. Ne pas confondre \(×\) (multiplié par) et l'inconnue \(x\).

    Evidemment, nous on s'arrange pour que vous voyiez bien la différence, mais écrivez vite sur une copie... \(×\) et x, est-ce que vous voyez une différence ?


  3. Ne pas croire que quand on a \(x\) seul cela veut dire \(0x\). Ce n'est pas parce que l'on ne voit rien devant qu'il n'y a rien ! Il y a bien un \(x\).

    Nous avons \(x=1x\) et surtout pas \(\require{cancel}\cancel{x=0x}\)


  4. On n'interrompt pas la recherche de la solution de l'équation avant l'ultime étape. Quand on arrive par exemple à \(2x=−7\), l'équation n'est pas encore résolue, on n'est pas encore arrivé à la solution !!

    On n'a pas fini de résoudre une équation avant d'avoir trouvé la valeur de l'inconnue, sous la forme \(x=...\)


  5. Ne pas simplifier d'une manière trop rapide ! Prenons l'équation :

    \[\frac{x+2}{2}=4\]

    On a peut-être très envie de simplifier par 2, mais c'est impossible ! Nous avons une addition !

    \[\require{cancel}JAMAIS \;\cancel{\frac{x\color{red}+\cancel{2}}{\cancel{2}}=4}\]

    Rappelez-vous, on ne peut simplifier la fraction que quand l'opération est une multiplication, comme par exemple pour : \[\require{cancel}\frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}}=4\]


  6. Bien gérer une équation telle que \(−x=3\) car ce petit « \(−\) » sait se faire oublier !

    Nous l'avons vu, nous n'aurons la solution que quand nous arriverons à la forme : \(x=...\) Il faut donc passer le signe dans le membre de droite.

    Deux façons d'être sûr de faire correctement :

    1. Se souvenir que \(−x\) est l'opposé de \(x\). Nous connaissons donc la valeur de \(x\) avec le signe opposé. Pour connaître \(x\), il suffit de le changer de signe, et nous obtenons \(x=−3\)

    2. Ou alors de manière plus longue :

      \(−x=3\)
      \(\implies−1x=3\)
      \(\implies\large{\frac{−1x}{−1}=\frac{3}{−1}}\)
      \(\require{cancel}\implies\large{\frac{\cancel{−1}x}{\cancel{−1}}=\frac{3}{−1}}\)
      \(\implies x=−3\)

  7. Ne pas confondre les équations avec une addition et celles avec une multiplication. Une erreur classique ! Deux petits exemples pour illustrer cette confusion.

    • Partons de l'équation \(2x=−4\). Logiquement pour trouver \(x\) il faut faire passer \(2\) à droite et sous le trait de fraction.

      Mais alors certains élèves disent « 2 change de côté donc il change aussi de signe ! » et ils proposent comme solution \(\require{cancel}\cancel{x=\large\frac{−4}{−2}}\) Ce qui est faux !

      Cela revient à confondre les manières de résoudre \(2x=−4\) et \(2+x=4\)

      Résolvons ces deux équations et comparons les résultats :

      • \(2x=−4\)
        \(\implies\large{\frac{2x}{2}=\frac{−4}{\color{red}2}}\)
        \(\require{cancel}\implies\large{\frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}}=\frac{−4}{\color{red}2}}\)
        \(\implies x=−2\)
      • \(2+x=4\)
        \(\implies x=4-2\)
        \(\implies x=2\)

      Deux résultats carrément opposés !

      La transposition, c'est à dire le passage d'un terme dans l'autre membre avec changement de signe, ne s'applique qu'en cas d'addition ou de soustraction du terme.


    • La même erreur que précédemment se rencontre avec une équation comme \(−2x=4\).

      La même idée fausse fait enlever le signe de \(−2\) en le changeant de membre, ce qui donnerait \(\require{cancel}\cancel{x=\large\frac{4}{2}}\)

      Un mélange dans les façons de résoudre \(−2x=4\) et \(−2+x=4\)

      Cela apparaîtra clairement en résolvant les équations :

      • \(−2x=4\)
        \(\implies\large{\frac{−2x}{−2}=\frac{4}{\color{red}{−2}}}\)
        \(\require{cancel}\implies\large{\frac{\cancel{−2}x}{\cancel{−2}}=\frac{4}{\color{red}{−2}}}\)
        \(\implies x=−2\)
      • \(−2+x=4\)
        \(\implies x=4+2\)
        \(\implies x=6\)

      Les solutions n'ont rien à voir !


    • Regardons une autre forme de confusion avec l'équation \(6+x=−12\). Pour la résoudre il suffirait de transposer le terme 6 c'est à dire de le faire passer dans le membre de droite en le changeant de signe !

      Mais non ! Certains élèves encore écrivent \(\require{cancel}\cancel{x=\large\frac{−12}{6}}\) Ce qui est faux ! Ils n'ont pas fait attention que \(x\) n'est pas multiplié par 6 mais que l'on ajoute 6 à \(x\).

      Dans ce cas là encore, il y a confusion entre \(6x=−12\) et \(6+x=−12\)

      Nous le verront tout de suite en comparant les solutions de ces deux équations :

      • \(6x=−12\)
        \(\implies\large{\frac{6x}{6}=\frac{−12}{\color{red}6}}\)
        \(\require{cancel}\implies\large{\frac{\cancel{6}x}{\cancel{6}}=\frac{−12}{\color{red}6}}\)
        \(\implies x=−2\)
      • \(6+x=−12\)
        \(\implies x=−12−6\)
        \(\implies x=−18\)

      Deux résultats différents !


Récapitulatif de la technique de résolution d'une équation du premier degré à une inconnue.

Avant de commencer à chercher les exercices, nous pensons utile de vous récapituler tous les éléments des méthodes de résolution que nous avons étudiées depuis le début du cours sur les équations. Nous détaillons le processus mais avec l'habitude, un coup d'oeil suffira pour la plupart des étapes.

Avant de commencer

  • Repérez le signe égal au milieu de l'équation

  • Visualisez le membre de gauche et le membre de droite de l'égalité.

  • Comment s'appelle l'inconnue ? Pour nous, dans les exercices ce sera \(x\).

Méthode à suivre

  1. S'occuper d'abord des termes additionnés (précédés de \(+\) ou de rien) ou soustraits (précédés de \(-\)).

    Déplacer les termes en \(x\) vers le membre de gauche de l'égalité et les termes numériques (ce sont des nombres et ils sont sans la lettre \(x\)) à droite du signe égal.

    Pour effectuer ces déplacements, nous appliquons la règle de transposition des termes d'une équation :

    • Un terme précédé du signe \(\color{red}+\) (ou d'aucun signe) sera, de l'autre côté du égal, précédé du signe \(\color{red}−\)

    • Un terme précédé du signe \(\color{red}−\) sera, de l'autre côté du égal, précédé du signe \(\color{red}+\) (ou d'aucun signe).

    Retrouvez les explications détaillées dans l'explication de la transposition en cas d'addition ou de soustraction.

  2. Effectuer tous les calculs possibles dans les deux membres de l'équation pour simplifier l'égalité.

  3. Nous avons maintenant un terme en \(x\) à gauche (qui est soit multiplié soit divisé) et un nombre à droite.

    Nous appliquons les règles de transposition que nous avons apprises :

    • Un nombre qui multiplie dans le membre de gauche divisera en passant dans le membre de droite.

    • Un nombre qui divise dans le membre de gauche multipliera en passant dans le membre de droite.

    Retrouvez les explications détaillées dans l'explication de la transposition en cas de multiplication ou de division.

  4. Et voilà ! Ne reste qu'à rédiger une belle phrase donnant la solution de l'équation.

Il existe bien sûr des cas particuliers plus ou moins compliqués et il faut les simplifier pour se ramener à la méthode que nous avons exposée. Nous étudierons soigneusement chacun dans les exercices : ce sera beaucoup plus facile à comprendre et à assimiler qu'un exposé abstrait.



Choix d'exercices pour les équations du premier degré

Pour maîtriser la résolution des équations, deux ingrédients sont indispensables - toujours les mêmes - votre envie... et votre volonté d'y arriver !

Pour bien comprendre et retenir, nous vous conseillons de faire les exercices dans l'ordre que nous proposons. Sélectionnez un exercice !

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