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capte-les-maths.com → Notions de Base › Les équations : Les équations du premier degré à une inconnue (page 2)

Les équations du premier degré à une inconnue


Et là, d'un coup, vous tombent dessus tout un tas de mots nouveaux ! Equations, nous avons abordé ce que c'est dans la page Comprendre ce qu'est une équation. Mais premier degré ? et à une inconnue ? Eh oui ! Pour étudier les équations du premier degré à une inconnue, il faut commencer par un peu de vocabulaire technique.

Mais rassurez-vous, sous cette appellation barbare se cachent en fait les équations les plus simples !


Sommaire de la page


Qu'est-ce qu'une équation à une inconnue ?

Oui au fait ! Pourquoi préciser une inconnue ?

La réponse est toute simple : on précise à une inconnue parce qu'il existe des équations à plusieurs inconnues !

Mais nous, pour commencer notre étude, une seule petite inconnue suffira ! Donc voici une petite définition pour savoir reconnaître ces égalités :

à retenir

Une équation à une inconnue est une équation où il n'y a qu'un seul paramètre que l'on ne connaît pas.

Il faut bien comprendre ce que veut dire cette définition.

Rappelons-nous que l'inconnue dans une équation, c'est la variable dont on ignore la valeur et donc que l'on cherche. Nous pouvons lui donner le nom que nous voulons même si par habitude nous emploierons souvent la lettre \(x\). Mais attention !

!

L'expression une inconnue veut dire qu'il n'y a que \(x\) que l'on ne connaît pas, mais cependant cette lettre \(x\) peut apparaître plusieurs fois dans l'équation.

Nous pouvons donc maintenant donner une façon simple et peut-être un peu rapide de reconnaître une équation à une inconnue :

Vulgairement dit, une équation à une inconnue est une équation où il n'y a que des \(x\) et des nombres.


Exemples d'équations à une inconnue

Voici enfin quelques exemples pour bien savoir reconnaître une équation à une inconnue.

\[5x + 3 = 4\]

C'est une équation à une inconnue car \(x\) est le seul élément que l'on ne connaît pas.

\[4x + y = 5\]

Ce n'est pas une équation à une inconnue car on ne connaît pas \(x\) et on ne connaît pas \(y\). Il y a deux inconnues !

\[4? + 3 = 4\]

Il s'agit bien d'une équation à une inconnue. En effet, qu'importe la façon de désigner l'inconnue, par un point d'interrogation, un \(x\) ou un \(y\), c'est toujours une inconnue et ici elle est unique

\[x +3 = 2x − 5\]

Nous avons là une équation à une inconnue. Nous n'avons qu'une seule inconnue, même si elle apparaît plusieurs fois.


Qu'est-ce qu'une équation du premier degré ?

Passons maintenant au premier degré. C'est une notion légèrement plus compliquée, et quand on commence à peine à aborder les équations, ça n'est pas le plus important. Il faut juste savoir ce que cela veut dire.

Donc nous sommes face à deux possibilités.

  • La première : vous donner une définition rapide et sommaire.
  • la deuxième : vous expliquer un peu plus.

Si vous abordez à peine le domaine des équations, contentez-vous de la première définition et revenez lire les explications plus approfondies quand vous aurez bien travaillé la suite du cours.


Moyen rapide de reconnaître une équation du premier degré

à retenir

Si nous nous plaçons dans le cadre d'une équation à une inconnue (seulement avec des \(x\)), cette équation est du premier degré si justement tous les \(x\) qui apparaissent dans l'équation s'écrivent \(x\) ou \(2x\) ou \(3x\) ...

Lire cela sonne un peu comme du charabia, mais si vous démarrer à peine, cette règle simple vous permettra d'avancer.


Comprendre pourquoi on parle d'équation du premier degré

Pour comprendre un peu plus, voici une explication plus approfondie.

En fait, vous savez sans doute qu'il est possible d'élever des nombres ou des expressions à une puissance 1 ou 2 ou 3 ou ... Si nous le faisons à notre belle inconnue que nous avons appelée \(x\), nous pouvons :

  • l'élever à la puissance \(2\) et l'écrire \(x^2\)
  • l'élever à la puissance \(3\) et l'écrire \(x^3\)
  • et ainsi de suite... \(x\) à la puissance \(n\) nous donne \(x^n\)

Bon ! Après il existe des équations plus compliquées que celles que nous avons déjà vues. Des équations où apparaissent des \(x^2\), des \(x^3\) ou même des \(x^n\). Et tous à la fois s'il le faut ! Comme dans \(x^3 + x^2 + x = 0\)

On dit que le degré d'une équation est égal à la puissance la plus grande de \(x\).

Par exemple

  • dans l'équation \(x^3 + x^2 + x = 0\), la puissance la plus grande de \(x\) est \(3\), donc on dit que l'équation est du 3ème degré

  • dans l'équation \(x^2 + 2x = 3\), la puissance la plus grande de \(x\) est \(2\), donc on dit que l'équation est du 2ème degré

Revenons à notre premier degré, puisque c'est lui qui nous intéresse ici ! Pourquoi n'avoir parlé de puissance qu'à partir de 2 ? La puissance 1 existe !

En fait il faut savoir que \(x\), c'est \(x^1\) (\(x\) puissance \(1\))

Donc nous pouvons dire que l'équation \(x + 3 = 0\) pourrait s'écrire \(x^1 + 3 = 0\), et fort justement déduire que cette équation est du 1er degré !

Mais comme les mathématiciens aiment économiser leurs efforts, nous écrivons \(x\) tout seul sans sa puissance \(1\), pour nous simplifier la vie et l'écriture.

Et nous obtenons maintenant notre définition d'une équation du premier degré.

à retenir

Une équation du premier degré est une équation où la puissance la plus grande de la variable est 1.



Définition d'une équation du premier degré à une inconnue

Nous pouvons maintenant donner une définition précise d'une équation du premier degré à une inconnue !

à retenir

Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité dans laquelle figurent des nombres et une lettre représentant l'inconnue, \(x\) en général.
Cette variable \(x\) inconnue est à la puissance 1 et est le seul élément que l'on ne connaît pas dans l'équation.
Il faut découvrir la valeur de \(x\) !

Par exemple l'égalité \(4x + 1 = 2x − 3\) est une équation du 1er degré à une inconnue.

Nous pouvons dire qu'elle est à une inconnue car il n'y a que \(x\) comme variable dans l'équation et qu'elle est du premier degré car ce \(x\) est à la puissance 1.

Maintenant, pour ne plus jamais hésiter, vous pouvez chercher cet exercice : apprendre à reconnaître les équations du premier degré à une inconnue.

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