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LA PROPORTIONNALITÉ

capte-les-maths.com → Notions de BaseLa Proportionnalité › Tableau et Coefficient de Proportionnalité (2 ⁄ 9)

Tableau et Coefficient de Proportionnalité


Cette fiche interactive va vous permettre de comprendre, à partir d'un exemple concret, le fonctionne­ment d'un Tableau de Proportionnalité (égalité des rapports) et du Coefficient de Propor­tionnalité. Vous apprendrez en même temps le vocabulaire de la propor­tionnalité (proportion, grandeurs pro­por­tion­nel­les...).

Cette page est conçue à partir de petits exercices : répondez aux questions et validez le bouton « Vérifiez ». Même si vous vous trompez, c'est comme cela que vous assimilerez les explications complètes du cours.


Etude d'un exemple de Tableau de Proportionnalité

Nous avons vu avec notre première définition de la proportionnalité, comment construire un tableau de proportionnalité. Nous allons maintenant étudier ses propriétés et apprendre à en parler correctement. Et pour bien comprendre, nous allons aller très doucement !

?

Dans le Foyer Socio-éducatif d'un Lycée, des élèves sont volontaires pour vendre des pains au chocolat à chaque récréation. Les bénéfices seront reversés au Téléthon.
Voici les résultats des 6 semaines de vente.
Semaines123456
Quantités Vendues971098554108139
Bénéfices (€)38,8043,603421,6043,2055,60
Calculez les rapports suivants (utilisez votre machine à calculer).

Calculez d'abord les rapports (2ème ligne du tableau divisé par la 1ère)

38,80
97
43,60
109
34
85
21,60
54
43,20
108
55,60
139

Que constatez-vous ?


.... Et voilà la Correction ...


Nous constatons que tous ces rapports sont égaux et valent 0,40. Donc le résultat de la division des données de la 2ème ligne du tableau par celles de la 1ère est toujours le même, il est constant !

!

C'est le plus impor­tant ici : tous les rap­ports que nous avons calculés sont égaux !

Nous touchons ici une notion très importante : la proportionnalité signifie que deux grandeurs sont liées, qu'elles varient de la même façon, et ce qui les relie se mesure (se traduit, se matérialise...) justement par ce rapport constant que nous avons calculé.


Qu'est-ce que le coefficient de proportionnalité ?

Pour bien comprendre le sens du vocabulaire que nous allons vous donner, voici tout d'abord encore une petite question...

?

Quel est le bénéfice dégagé, la première semaine, sur la vente d'un petit pain ?

Rappelez-vous, nous connaissons pour chaque semaine le nombre des pains vendus et combien a rapporté cette vente.


.... Et voilà la Correction ...

Nous savons que, pour la première semaine, le bénéfice est de 38,80 € pour 97 petits pains vendus. Donc (puisque nos élèves ne s'amusent pas à faire un prix différent à chaque client), le bénéfice sur un seul pain s'obtient en divisant le bénéfice total de la semaine par le nombre de pain.


Le bénéfice pour un pain est donc de 0,40 €. Pourquoi 0,40 € ? C'est la même valeur que les rapports que nous avons calculés !

Eh oui ! Car les rapports représentent le bénéfice total d'une semaine divisé par le nombre de pains vendus, soit :

bénéfice total d'une semaine
nombre de pains vendus

 = 0,40

Ces rapports sont donc le bénéfice pour un seul pain. Et nous voyons que :

bénéfice = 0,4 × nombre de pains vendus

Plus on vend de pains plus le bénéfice est grand. Et moins on en vend... Nous pouvons dire que :

Le bénéfice varie de la même façon que le nombre de pains au chocolat vendus.

Quand on vend un pain le bénéfice augmente de 0,40 €, quand on en vend deux il augmente de 0,40 € × 2, et ainsi de suite.

Nous voyons que notre rapport 0,4 détermine quelle portion du prix des pains sera un bénéfice : on l'appelle un coefficient.

C'est parce que les rapports sont égaux (= 0,4) que nous dirons qu'il y a proportionnalité entre le nombre de pains vendus et le bénéfice obtenu.

à retenir

Ce rapport 0,4 s'appelle le Coefficient de Proportionnalité puisqu'il mesure comment nos deux grandeurs sont proportionnelles.

Tout cela nous montre qu'il était justifié d'appeler le tableau donné dans le problème : Tableau de Proportionnalité.


Comment dire que deux grandeurs sont proportionnelles ?

Nous y voilà ! Pour arriver à parler simplement et correctement de tout ça, il va falloir utiliser les bons mots, passer par une petite case vocabulaire !

Pour dire que la variation du bénéfice et celle du nombre de pains vendus sont simultanées (se passent en même temps), nous emploierons les expressions :

à retenir

  • Le bénéfice varie en proportion du nombre de pains vendus

  • Le bénéfice est proportionnel au nombre de pains vendus

  • le bénéfice et le nombre de pains vendus sont des grandeurs proportionnelles

  • La suite des différents bénéfices (38,30; 43,60; 34; 21,60; 43,20; 55,60) et la suite des différentes quantités vendues (97; 109; 85; 54; 108; 139) sont des suites proportionnelles

Voilà beaucoup de définitions d'un coup, mais c'est vraiment juste une question de vocabulaire.

Réfléchissez, dans la vie, on est tout le temps confronté à des situations de proportionnalité : plus on travaille, plus les notes s'améliorent ; plus on gagne d'argent, plus on peut acheter ; ...
De toutes façons, quand vous aurez bien étudié le cours et les exercices, tous ces mots seront entrés tous seuls dans votre tête.


Définition du Coefficient de Proportionnalité

Nous allons pouvoir maintenant donner une définition plus rigoureuse du Coefficient de Proportionnalité.

à retenir

Le coefficient de proportionnalité est donc le rapport constant entre deux grandeurs proportionnelles. Ce qui veut dire que :
Si nous avons une grandeur G1 proportionnelle à une grandeur G2, on appelle Coefficient de Proportionnalité le nombre qui multiplié à une valeur de G1 permet d'obtenir la valeur correspondante de G2.

Reprenons notre exemple pour bien comprendre la définition :

  • G1 est le nombre de pains au chocolat vendus chaque semaine.

  • G2 est le bénéfice d'une semaine.

Nous savons que G1 et G2 sont des grandeurs proportionnelles.

Supposons qu'une semaine nous ayons vendu 2 pains (2 est donc une valeur de la grandeur G1). Nous savons que la vente de ces 2 pains va nous donner un bénéfice. Ce bénéfice est une valeur de la grandeur G2.

Le coefficient de proportionnalité est le nombre qui nous permettra de passer des 2 pains vendus au bénéfice obtenu. Nous avons trouvé que ce coefficient est égal à 0,4.

Donc puisque 2 est une valeur de G1 nous pouvons affirmer que la valeur de G2 correspondante est égale à 2 multiplié par le coefficient de proportionnalité, donc à 2 × 0,40 soit 0,80 €.

Alors vous pourriez vous demander maintenant : à quoi sert de définir ce coefficient ? Vous vous doutez bien que la réponse est : à beaucoup de choses ! Vous le retrouverez par exemple avec le coefficient de TVA, le coefficient de Marge des Calculs Commerciaux ou l'échelle d'une carte. Et bien d'autres encore...

Voilà l'intérêt du coefficient :

Quand on est sûr d'être face à deux grandeurs proportionnelles entre elles, le coefficient permet, connaissant n'importe quelle valeur d'une des grandeurs, de trouver la valeur correspondante de l'autre grandeur.

Nous vous proposons deux exercices très simples pour illustrer cette propriété.



Deux exercices pour comprendre l'intérêt de la notion de Proportionnalité

Maintenant, pour que compreniez l'importance de savoir que des grandeurs sont proportionnelles (on parle aussi de Situation de Proportionnalité), nous allons travailler deux petits exercices.
Mais vous remarquerez que c'est seulement parce que le bénéfice et le nombre de pains sont proportionnels que nous sommes capables de répondre aux questions sans renseignements supplémentaires.

Trouver le bénéfice pour une quantité de pains absente du tableau

?

Quel est le bénéfice dégagé par la vente de 93 pains au chocolat ?


.... Et voilà la Correction ...


Le raisonnement serait :

  • le nombre de pain vendus et le bénéfice obtenu par cette vente sont proportionnels

  • la grandeur bénéfice est reliée à la grandeur nombre par le Coefficient de Proportionnalité 0,4

  • on obtient donc le bénéfice en multipliant le nombre de pains par le Coefficient de Proportionnalité 0,4.

Et cela est valable quelle que soit la quantité qu'on vend.

à retenir

C'est pour cela qu'on appelle aussi le Coefficient de Proportionnalité, Coefficient Multiplicateur.

Vous pouviez trouver la solution par un simple raisonnement, avec votre logique de tous les jours, c'est la force de la proportionnalité. Mais pour visualiser la méthode sous une forme mathématique rappelez-vous que nous avons trouvé le rapport :

bénéfice total d'une semaine
nombre de pains vendus

 = Coefficient de Proportionnalité 0,40

Et que nous en avons déduit :

bénéfice = 0,4 × nombre de pains vendus

Trouver le nombre de pains pour un bénéfice absent du tableau

?

Combien faut-il vendre de pains au chocolat pour avoir un bénéfice de 50 € ?


.... Et voilà la Correction ...


Notre allons construire notre raisonnement de la même façon.

  • Nous avons un rapport constant entre le bénéfice et le nombre de pains : un pain au chocolat procure un bénéfice de 0,40 €.

  • Bénéfice et nombre de pains sont donc des grandeurs proportionnelles.

  • En divisant le bénéfice par le Coefficient Multiplicateur 0,4 on obtient le nombre de pains.

Le coefficient (qui est le rapport entre les deux grandeurs) marque quelle est la proportion de l'une des grandeurs par rapport à l'autre.

De la même façon, notre logique naturelle était suffisante pour trouver la solution de l'exercice, mais voici la forme mathématique. Nous partons du même rapport :

bénéfice total d'une semaine
nombre de pains vendus

 = Coefficient de Proportionnalité 0,40

Nous en déduisons :

bénéfice total d'une semaine
Coefficient de Proportionnalité 0,40

 = nombre de pains vendus


Schéma récapitulatif d'utilisation du Coefficient Multiplicateur
(ou Coefficient de Proportionnalité)

Nous avons constaté que le coefficient de proportionnalité nous permet de passer d'une grandeur à l'autre. Il est le lien entre elles. Avec ce petit schéma, plus rien ne sera caché...

schéma de fonctionnement du coefficient multiplicateur

Autrement dit :

Bénéfice

= Coefficient de Proportionnalité × Nombre de pains

Nombre de pains

= Bénéfice ÷ Coefficient de Proportionnalité

Voilà ! Le plus dur est fait ! Maintenant on va voir comment utiliser tout ça. En premier lieu il nous faut savoir si nous sommes ou non dans une Situation de Proportionnalité.

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